Номер 10, страница 48 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

10. Определите отношение $\frac{\langle v_{квI} \rangle}{\langle v_{квII} \rangle}$ средних квадратичных скоростей теплового движения атомов газов, находящихся в сосудах (рис. 37).

Рис. 37

Дано:

Газ в сосуде I: неон (Ne)
Газ в сосуде II: аргон (Ar)
Температура газа в сосуде I: $T_I = T$
Температура газа в сосуде II: $T_{II} = T$
Молярная масса неона: $M_I = M_{Ne} \approx 20 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
Молярная масса аргона: $M_{II} = M_{Ar} \approx 40 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Найти:

$\frac{\langle\upsilon_{\text{кв I}}\rangle}{\langle\upsilon_{\text{кв II}}\rangle}$

Решение:

Средняя квадратичная скорость теплового движения атомов идеального газа связана с температурой и молярной массой газа соотношением:

$\langle\upsilon_{\text{кв}}\rangle = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$

где $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура газа, а $M$ — его молярная масса.

Запишем формулы для средней квадратичной скорости атомов неона (газ I) и аргона (газ II):

$\langle\upsilon_{\text{кв I}}\rangle = \sqrt{\frac{3RT_I}{M_I}}$

$\langle\upsilon_{\text{кв II}}\rangle = \sqrt{\frac{3RT_{II}}{M_{II}}}$

Теперь найдем отношение этих скоростей:

$\frac{\langle\upsilon_{\text{кв I}}\rangle}{\langle\upsilon_{\text{кв II}}\rangle} = \frac{\sqrt{\frac{3RT_I}{M_I}}}{\sqrt{\frac{3RT_{II}}{M_{II}}}}$

По условию задачи, температуры газов в сосудах одинаковы, то есть $T_I = T_{II} = T$. Подставив это в формулу, получаем:

$\frac{\langle\upsilon_{\text{кв I}}\rangle}{\langle\upsilon_{\text{кв II}}\rangle} = \sqrt{\frac{\frac{3RT}{M_I}}{\frac{3RT}{M_{II}}}} = \sqrt{\frac{3RT}{M_I} \cdot \frac{M_{II}}{3RT}} = \sqrt{\frac{M_{II}}{M_I}}$

Таким образом, отношение средних квадратичных скоростей обратно пропорционально корню из отношения их молярных масс. Подставим числовые значения молярных масс неона ($M_I \approx 20 \cdot 10^{-3}$ кг/моль) и аргона ($M_{II} \approx 40 \cdot 10^{-3}$ кг/моль):

$\frac{\langle\upsilon_{\text{кв I}}\rangle}{\langle\upsilon_{\text{кв II}}\rangle} = \sqrt{\frac{40 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{20 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}} = \sqrt{2} \approx 1.41$

Ответ: Отношение средних квадратичных скоростей равно $\sqrt{2}$, что приблизительно составляет 1.41.