Номер 4, страница 46 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

4. Концентрации молекул водорода и азота в сосудах и средние квадратичные скорости их движения одинаковые (рис. 33). Определите, во сколько раз давление азота больше давления водорода.

$n_{\text{H}_2} = n_{\text{N}_2}$

$\langle v_{\text{КВ}} \rangle_{\text{H}_2} = \langle v_{\text{КВ}} \rangle_{\text{N}_2}$

Рис. 33

Дано:

Концентрации молекул водорода и азота одинаковы: $n_{H_2} = n_{N_2} = n$
Средние квадратичные скорости молекул одинаковы: $\langle v_{кв} \rangle_{H_2} = \langle v_{кв} \rangle_{N_2} = \langle v_{кв} \rangle$

Справочные данные в системе СИ:
Молярная масса водорода (H₂): $M_{H_2} = 2 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
Молярная масса азота (N₂): $M_{N_2} = 28 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Найти:

$\frac{p_{N_2}}{p_{H_2}}$

Решение:

Давление идеального газа связано с микроскопическими параметрами через основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ):

$p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$

где $p$ – давление газа, $n$ – концентрация молекул, $m_0$ – масса одной молекулы, а $\langle v^2 \rangle$ – средний квадрат скорости движения молекул. Средняя квадратичная скорость $\langle v_{кв} \rangle$ связана со средним квадратом скорости как $\langle v_{кв} \rangle = \sqrt{\langle v^2 \rangle}$, следовательно $\langle v^2 \rangle = \langle v_{кв} \rangle^2$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v_{кв} \rangle^2$

Запишем это уравнение для водорода (H₂) и азота (N₂):

$p_{H_2} = \frac{1}{3} n_{H_2} m_{0, H_2} \langle v_{кв} \rangle_{H_2}^2$

$p_{N_2} = \frac{1}{3} n_{N_2} m_{0, N_2} \langle v_{кв} \rangle_{N_2}^2$

По условию задачи, концентрации и средние квадратичные скорости газов равны:

$n_{H_2} = n_{N_2} = n$

$\langle v_{кв} \rangle_{H_2} = \langle v_{кв} \rangle_{N_2} = \langle v_{кв} \rangle$

Подставим эти условия в уравнения для давлений:

$p_{H_2} = \frac{1}{3} n m_{0, H_2} \langle v_{кв} \rangle^2$

$p_{N_2} = \frac{1}{3} n m_{0, N_2} \langle v_{кв} \rangle^2$

Чтобы определить, во сколько раз давление азота больше давления водорода, найдем их отношение, разделив второе уравнение на первое:

$\frac{p_{N_2}}{p_{H_2}} = \frac{\frac{1}{3} n m_{0, N_2} \langle v_{кв} \rangle^2}{\frac{1}{3} n m_{0, H_2} \langle v_{кв} \rangle^2}$

Сократив одинаковые множители ($\frac{1}{3}, n, \langle v_{кв} \rangle^2$), получим, что отношение давлений равно отношению масс молекул:

$\frac{p_{N_2}}{p_{H_2}} = \frac{m_{0, N_2}}{m_{0, H_2}}$

Отношение масс отдельных молекул равно отношению их молярных масс $M$, так как $m_0 = M/N_A$, где $N_A$ – постоянная Авогадро.

$\frac{m_{0, N_2}}{m_{0, H_2}} = \frac{M_{N_2}}{M_{H_2}}$

Подставим значения молярных масс водорода и азота:

$\frac{p_{N_2}}{p_{H_2}} = \frac{28 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{2 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} = 14$

Ответ:давление азота больше давления водорода в 14 раз.