Номер 1.1, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.1. Найдите значение выражения:

а) $(-1)^{-5} \cdot (-2)^{-2}$;

б) $27^{-1} : (\frac{1}{3})^{4}$;

в) $(0,2^{-1})^{3} - 0,11^{0}$.

а) $(-1)^{-5} \cdot (-2)^{-2}$
Для вычисления значения выражения воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
1. Вычислим первый множитель: $(-1)^{-5} = \frac{1}{(-1)^5}$. Так как показатель степени 5 является нечетным, то $(-1)^5 = -1$. Следовательно, $(-1)^{-5} = \frac{1}{-1} = -1$.
2. Вычислим второй множитель: $(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2}$. Так как показатель степени 2 является четным, то $(-2)^2 = 4$. Следовательно, $(-2)^{-2} = \frac{1}{4}$.
3. Выполним умножение полученных значений: $(-1) \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{4} = -0,25$.
Ответ: $-0,25$

б) $27^{-1} : (\frac{1}{3})^4$
Это выражение можно решить двумя способами.
Способ 1: Вычисление по действиям
1. По свойству $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, находим $27^{-1} = \frac{1}{27}$.
2. Возводим дробь в степень: $(\frac{1}{3})^4 = \frac{1^4}{3^4} = \frac{1}{81}$.
3. Выполняем деление: $\frac{1}{27} : \frac{1}{81}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь: $\frac{1}{27} \cdot \frac{81}{1} = \frac{81}{27} = 3$.
Способ 2: Приведение к одному основанию
1. Представим числа в виде степеней с основанием 3. $27 = 3^3$, следовательно, $27^{-1} = (3^3)^{-1} = 3^{-3}$.
2. Дробь $\frac{1}{3}$ можно представить как $3^{-1}$. Тогда $(\frac{1}{3})^4 = (3^{-1})^4 = 3^{-4}$.
3. Выражение принимает вид $3^{-3} : 3^{-4}$. По свойству деления степеней с одинаковым основанием ($a^m : a^n = a^{m-n}$), получаем: $3^{-3 - (-4)} = 3^{-3+4} = 3^1 = 3$.
Ответ: $3$

в) $(0,2^{-1})^3 - 0,11^0$
Для решения воспользуемся свойствами степеней: любое ненулевое число в нулевой степени равно единице ($a^0 = 1$), и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
1. Сначала вычислим значение каждого члена выражения.
$0,11^0 = 1$.
2. Для вычисления $(0,2^{-1})^3$ сначала найдем значение в скобках. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
3. Теперь применим свойство отрицательной степени: $0,2^{-1} = (\frac{1}{5})^{-1} = \frac{1}{\frac{1}{5}} = 5$.
4. Возведем полученный результат в куб: $5^3 = 125$.
5. Выполним вычитание: $125 - 1 = 124$.
Ответ: $124$