Номер 1.2, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.2. Упростите выражение:

a) $\sqrt[3]{81}-\sqrt[3]{3}$;

б) $4\sqrt[3]{128}-2\sqrt[5]{32}$;

в) $(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{243})\cdot \sqrt[3]{3}$.

а)

Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{81} - \sqrt[3]{3}$, необходимо вынести множитель из-под знака первого корня. Для этого представим подкоренное выражение 81 в виде произведения множителей, один из которых является кубом целого числа.

Разложим 81 на множители: $81 = 27 \cdot 3 = 3^3 \cdot 3$.

Теперь вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 3\sqrt[3]{3}$.

Подставим полученное значение обратно в исходное выражение и выполним вычитание подобных членов:

$3\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{3} = (3 - 1)\sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3}$.

Ответ: $2\sqrt[3]{3}$.

б)

Чтобы упростить выражение $4\sqrt[7]{128} - 2\sqrt[5]{32}$, вычислим значения корней.

Для первого члена $4\sqrt[7]{128}$ найдем значение $\sqrt[7]{128}$. Число 128 является седьмой степенью числа 2:

$128 = 2^7$.

Следовательно, $\sqrt[7]{128} = \sqrt[7]{2^7} = 2$.

Тогда первый член выражения равен $4 \cdot 2 = 8$.

Для второго члена $2\sqrt[5]{32}$ найдем значение $\sqrt[5]{32}$. Число 32 является пятой степенью числа 2:

$32 = 2^5$.

Следовательно, $\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$.

Тогда второй член выражения равен $2 \cdot 2 = 4$.

Теперь выполним вычитание:

$8 - 4 = 4$.

Ответ: $4$.

в)

Чтобы упростить выражение $(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{243}) \cdot \sqrt[3]{3}$, можно пойти двумя путями: раскрыть скобки или сначала упростить выражение в скобках. Второй способ часто бывает проще.

Упростим выражение в скобках. Для этого вынесем множитель из-под знака корня $\sqrt[3]{243}$. Разложим 243 на множители:

$243 = 81 \cdot 3 = 27 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3 \cdot 9$.

Тогда $\sqrt[3]{243} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 9} = \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{9} = 3\sqrt[3]{9}$.

Подставим это в выражение в скобках:

$\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{243} = \sqrt[3]{9} - 3\sqrt[3]{9} = (1 - 3)\sqrt[3]{9} = -2\sqrt[3]{9}$.

Теперь умножим результат на $\sqrt[3]{3}$:

$(-2\sqrt[3]{9}) \cdot \sqrt[3]{3} = -2 \cdot (\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{3})$.

Используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$-2 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot 3} = -2 \cdot \sqrt[3]{27}$.

Так как $27 = 3^3$, то $\sqrt[3]{27} = 3$.

$-2 \cdot 3 = -6$.

Ответ: $-6$.