Номер вопрос 1, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Используя определение степени с рациональным показателем, выберите верное равенство:

а) $5^{\frac{2}{3}} = \sqrt{5^3}$;

б) $5^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{5^2}$;

в) $5^{\frac{2}{3}} = 5 \cdot \frac{2}{3}$;

г) $5^{\frac{2}{3}} = \sqrt[6]{5}$.

Для того чтобы выбрать верное равенство, необходимо использовать определение степени с рациональным показателем. Согласно этому определению, для любого неотрицательного числа $a$ и любого рационального числа $\frac{m}{n}$ (где $m$ — целое число, $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) справедливо равенство: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В этой формуле знаменатель дроби $n$ становится показателем корня, а числитель дроби $m$ — показателем степени подкоренного выражения.

Применим это правило к выражению $5^{\frac{2}{3}}$, данному в задаче. Здесь основание $a=5$, числитель показателя $m=2$, а знаменатель показателя $n=3$. Подставляя эти значения в формулу, получаем: $5^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{5^2}$.

Теперь проанализируем каждое из предложенных равенств.

а) Равенство $5^{\frac{2}{3}} = \sqrt{5^3}$. В правой части равенства стоит квадратный корень (показатель корня по умолчанию равен 2), то есть $\sqrt{5^3} = \sqrt[2]{5^3}$. Согласно определению степени, это выражение равно $5^{\frac{3}{2}}$. Поскольку $\frac{2}{3} \neq \frac{3}{2}$, данное равенство неверно.
Ответ: Равенство неверно.

б) Равенство $5^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{5^2}$. Это равенство в точности соответствует преобразованию, выполненному по определению степени с рациональным показателем: знаменатель $3$ стал показателем корня, а числитель $2$ — показателем степени числа $5$.
Ответ: Равенство верно.

в) Равенство $5^{\frac{2}{3}} = 5 \cdot \frac{2}{3}$. Данное равенство неверно, так как возведение в дробную степень не является операцией умножения основания на показатель. $5^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{25}$, что не равно $5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$.
Ответ: Равенство неверно.

г) Равенство $5^{\frac{2}{3}} = \sqrt[6]{5}$. В правой части равенства стоит выражение $\sqrt[6]{5}$, которое по определению можно записать как $5^{\frac{1}{6}}$. Поскольку $\frac{2}{3} \neq \frac{1}{6}$ (на самом деле $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$), данное равенство неверно.
Ответ: Равенство неверно.