Номер 1.7, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.7. Сравните значения выражений:

a) $32^{\frac{3}{5}}$ и $27^{\frac{2}{3}}$;

б) $0,125^{-\frac{1}{3}}$ и $0,000064^{-\frac{1}{6}}$.

а) $32^{\frac{3}{5}}$ и $27^{\frac{2}{3}}$

Для сравнения значений данных выражений, необходимо их упростить.

Вычислим значение первого выражения $32^{\frac{3}{5}}$. Представим основание 32 как степень числа 2, то есть $32 = 2^5$.

$32^{\frac{3}{5}} = (2^5)^{\frac{3}{5}}$

Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$2^{5 \cdot \frac{3}{5}} = 2^3 = 8$

Теперь вычислим значение второго выражения $27^{\frac{2}{3}}$. Представим основание 27 как степень числа 3, то есть $27 = 3^3$.

$27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}}$

Применяя то же свойство степени, получаем:

$3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 = 9$

Теперь сравним полученные результаты: $8$ и $9$.

Так как $8 < 9$, следовательно, $32^{\frac{3}{5}} < 27^{\frac{2}{3}}$.

Ответ: $32^{\frac{3}{5}} < 27^{\frac{2}{3}}$.

б) $0,125^{-\frac{1}{3}}$ и $0,000064^{-\frac{1}{6}}$

Для сравнения упростим каждое из выражений, представив десятичные дроби в виде степеней.

Рассмотрим первое выражение $0,125^{-\frac{1}{3}}$. Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$. Так как $8 = 2^3$, то $\frac{1}{8} = 2^{-3}$.

Подставим это в выражение:

$0,125^{-\frac{1}{3}} = (2^{-3})^{-\frac{1}{3}}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$2^{(-3) \cdot (-\frac{1}{3})} = 2^1 = 2$

Рассмотрим второе выражение $0,000064^{-\frac{1}{6}}$. Переведем десятичную дробь $0,000064$ в обыкновенную: $0,000064 = \frac{64}{1000000}$.

Представим числитель и знаменатель в виде степеней: $64 = 2^6$ и $1000000 = 10^6$.

Тогда $\frac{64}{1000000} = \frac{2^6}{10^6} = (\frac{2}{10})^6 = (\frac{1}{5})^6 = 5^{-6}$.

Подставим это в выражение:

$0,000064^{-\frac{1}{6}} = (5^{-6})^{-\frac{1}{6}}$

По свойству степени:

$5^{(-6) \cdot (-\frac{1}{6})} = 5^1 = 5$

Теперь сравним полученные результаты: $2$ и $5$.

Так как $2 < 5$, следовательно, $0,125^{-\frac{1}{3}} < 0,000064^{-\frac{1}{6}}$.

Ответ: $0,125^{-\frac{1}{3}} < 0,000064^{-\frac{1}{6}}$.