Номер 1.11, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.11. Выполните действия:

a) $b^{3.6} : \sqrt[5]{b^3};$

б) $(3\sqrt[5]{b^2})^2 + 3b^{0.8};$

в) $b^{2.5} \cdot (-2\sqrt{b})^5.$

а) Чтобы упростить выражение $b^{3,6} : \sqrt[5]{b^3}$, сначала представим корень в виде степени с рациональным показателем, используя свойство $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.

$\sqrt[5]{b^3} = b^{\frac{3}{5}}$

Переведем дробный показатель в десятичный вид для удобства вычислений: $\frac{3}{5} = 0,6$. Таким образом, $\sqrt[5]{b^3} = b^{0,6}$.

Теперь исходное выражение принимает вид: $b^{3,6} : b^{0,6}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($x^a : x^c = x^{a-c}$):

$b^{3,6 - 0,6} = b^3$.

Ответ: $b^3$

б) Рассмотрим выражение $(3\sqrt[5]{b^2})^2 + 3b^{0,8}$. Упростим первое слагаемое.

Используем свойство возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$:

$(3\sqrt[5]{b^2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt[5]{b^2})^2 = 9 \cdot (\sqrt[5]{b^2})^2$

Представим корень в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[5]{b^2} = b^{\frac{2}{5}}$.

Теперь возведем полученную степень в квадрат, используя свойство $(x^a)^c = x^{ac}$:

$9 \cdot (b^{\frac{2}{5}})^2 = 9 \cdot b^{\frac{2}{5} \cdot 2} = 9 \cdot b^{\frac{4}{5}}$

Переведем дробный показатель в десятичный: $\frac{4}{5} = 0,8$. Первое слагаемое равно $9b^{0,8}$.

Теперь сложим полученный результат со вторым слагаемым:

$9b^{0,8} + 3b^{0,8} = (9+3)b^{0,8} = 12b^{0,8}$.

Ответ: $12b^{0,8}$

в) Рассмотрим выражение $b^{2,5} \cdot (-2\sqrt{b})^5$. Упростим второй множитель.

Используем свойство возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$:

$(-2\sqrt{b})^5 = (-2)^5 \cdot (\sqrt{b})^5$

Вычислим $(-2)^5 = -32$.

Представим корень в виде степени: $\sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}}$.

Возведем в степень: $(\sqrt{b})^5 = (b^{\frac{1}{2}})^5 = b^{\frac{1}{2} \cdot 5} = b^{\frac{5}{2}}$.

Переведем показатель в десятичную дробь: $\frac{5}{2} = 2,5$. Таким образом, второй множитель равен $-32b^{2,5}$.

Теперь выполним умножение:

$b^{2,5} \cdot (-32b^{2,5}) = -32 \cdot b^{2,5} \cdot b^{2,5}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($x^a \cdot x^c = x^{a+c}$):

$-32 \cdot b^{2,5+2,5} = -32b^5$.

Ответ: $-32b^5$