Номер 1.17, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.17. Разложите на множители выражение:

а) $a + a^{\frac{1}{2}}$;б) $b - 5b^{\frac{1}{3}}$;В) $x^{\frac{2}{3}} - x$;

Г) $a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{4}}$;Д) $7m^{\frac{3}{4}} + m^{\frac{1}{2}}$;е) $2n^{\frac{5}{6}} - 5n^{\frac{1}{3}}$.

а) Чтобы разложить на множители выражение $a + a^{\frac{1}{2}}$, необходимо найти общий множитель и вынести его за скобки. Представим $a$ как $a^1$. Общим множителем будет степень с наименьшим показателем. В данном случае это $a^{\frac{1}{2}}$.

Вынесем $a^{\frac{1}{2}}$ за скобки. Для этого каждый член выражения разделим на $a^{\frac{1}{2}}$:

$a + a^{\frac{1}{2}} = a^1 + a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} \cdot (a^{1 - \frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}) = a^{\frac{1}{2}} \cdot (a^{\frac{1}{2}} + a^0) = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} + 1)$.

Ответ: $a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} + 1)$.

б) В выражении $b - 5b^{\frac{1}{3}}$ наименьшая степень переменной $b$ равна $\frac{1}{3}$ (так как $b = b^1$). Вынесем $b^{\frac{1}{3}}$ за скобки.

Разделим каждый член на $b^{\frac{1}{3}}$:

$b - 5b^{\frac{1}{3}} = b^1 - 5b^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{3}} \cdot (b^{1 - \frac{1}{3}} - 5b^{\frac{1}{3} - \frac{1}{3}}) = b^{\frac{1}{3}} \cdot (b^{\frac{2}{3}} - 5b^0) = b^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{2}{3}} - 5)$.

Ответ: $b^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{2}{3}} - 5)$.

в) В выражении $x^{\frac{2}{3}} - x$ наименьшая степень переменной $x$ равна $\frac{2}{3}$ (так как $x = x^1$ и $\frac{2}{3} < 1$). Вынесем $x^{\frac{2}{3}}$ за скобки.

Разделим каждый член на $x^{\frac{2}{3}}$:

$x^{\frac{2}{3}} - x = x^{\frac{2}{3}} - x^1 = x^{\frac{2}{3}} \cdot (x^{\frac{2}{3} - \frac{2}{3}} - x^{1 - \frac{2}{3}}) = x^{\frac{2}{3}} \cdot (x^0 - x^{\frac{1}{3}}) = x^{\frac{2}{3}}(1 - x^{\frac{1}{3}})$.

Ответ: $x^{\frac{2}{3}}(1 - x^{\frac{1}{3}})$.

г) В выражении $a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{4}}$ сравним показатели степеней: $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{4}$. Так как $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$, наименьшая степень равна $\frac{1}{4}$. Вынесем $a^{\frac{1}{4}}$ за скобки.

Разделим каждый член на $a^{\frac{1}{4}}$:

$a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{4}} \cdot (a^{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} - a^{\frac{1}{4} - \frac{1}{4}}) = a^{\frac{1}{4}} \cdot (a^{\frac{2}{4} - \frac{1}{4}} - a^0) = a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}} - 1)$.

Ответ: $a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}} - 1)$.

д) В выражении $7m^{\frac{3}{4}} + m^{\frac{1}{2}}$ сравним показатели степеней: $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$, то $\frac{1}{2} < \frac{3}{4}$. Наименьшая степень равна $\frac{1}{2}$. Вынесем $m^{\frac{1}{2}}$ за скобки.

Разделим каждый член на $m^{\frac{1}{2}}$:

$7m^{\frac{3}{4}} + m^{\frac{1}{2}} = m^{\frac{1}{2}} \cdot (7m^{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}} + m^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}) = m^{\frac{1}{2}} \cdot (7m^{\frac{3}{4} - \frac{2}{4}} + m^0) = m^{\frac{1}{2}}(7m^{\frac{1}{4}} + 1)$.

Ответ: $m^{\frac{1}{2}}(7m^{\frac{1}{4}} + 1)$.

е) В выражении $2n^{\frac{5}{6}} - 5n^{\frac{1}{3}}$ сравним показатели степеней: $\frac{5}{6}$ и $\frac{1}{3}$. Так как $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$, то $\frac{1}{3} < \frac{5}{6}$. Наименьшая степень равна $\frac{1}{3}$. Вынесем $n^{\frac{1}{3}}$ за скобки.

Разделим каждый член на $n^{\frac{1}{3}}$:

$2n^{\frac{5}{6}} - 5n^{\frac{1}{3}} = n^{\frac{1}{3}} \cdot (2n^{\frac{5}{6} - \frac{1}{3}} - 5n^{\frac{1}{3} - \frac{1}{3}}) = n^{\frac{1}{3}} \cdot (2n^{\frac{5}{6} - \frac{2}{6}} - 5n^0) = n^{\frac{1}{3}}(2n^{\frac{3}{6}} - 5) = n^{\frac{1}{3}}(2n^{\frac{1}{2}} - 5)$.

Ответ: $n^{\frac{1}{3}}(2n^{\frac{1}{2}} - 5)$.