Номер 1.20, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.20. Сократите дробь $\frac{a^{\frac{3}{2}} - a^{\frac{1}{2}} b^{-2}}{a^{\frac{1}{2}} b^{-1} - a}$ и вычислите ее значение при $a = 0,25$ и $b = \frac{1}{3}$.

Сократите дробь

Исходное выражение: $ \frac{a^{\frac{3}{2}} - a^{\frac{1}{2}}b^{-2}}{a^{\frac{1}{2}}b^{-1} - a} $.

Сначала преобразуем числитель. Вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$:
$a^{\frac{3}{2}} - a^{\frac{1}{2}}b^{-2} = a^{\frac{1}{2}}(a - b^{-2})$.
Выражение в скобках представляет собой разность квадратов, так как $a = (a^{\frac{1}{2}})^2$ и $b^{-2} = (b^{-1})^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$a - b^{-2} = (a^{\frac{1}{2}} - b^{-1})(a^{\frac{1}{2}} + b^{-1})$.
Таким образом, числитель равен $a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{-1})(a^{\frac{1}{2}} + b^{-1})$.

Теперь преобразуем знаменатель. Вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$:
$a^{\frac{1}{2}}b^{-1} - a = a^{\frac{1}{2}}(b^{-1} - a^{\frac{1}{2}})$.
Чтобы выделить множитель, совпадающий с одним из множителей числителя, вынесем знак минус за скобку:
$a^{\frac{1}{2}}(b^{-1} - a^{\frac{1}{2}}) = -a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{-1})$.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$ \frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{-1})(a^{\frac{1}{2}} + b^{-1})}{-a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{-1})} $.

Сократим общие множители $a^{\frac{1}{2}}$ и $(a^{\frac{1}{2}} - b^{-1})$ (при условии, что $a \neq 0$ и $a^{\frac{1}{2}} \neq b^{-1}$):
$ \frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{-1}}{-1} = -(a^{\frac{1}{2}} + b^{-1}) $.
Используя свойства степеней ($x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ и $x^{-1}=\frac{1}{x}$), выражение можно записать как: $-(\sqrt{a} + \frac{1}{b})$.
Ответ: $-(a^{\frac{1}{2}} + b^{-1})$.

Вычислите ее значение при $a = 0,25$ и $b = \frac{1}{3}$

Подставим данные значения в упрощенное выражение $-(a^{\frac{1}{2}} + b^{-1})$.
Найдем значение $a^{\frac{1}{2}}$:
$a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a} = \sqrt{0,25} = 0,5$.
Найдем значение $b^{-1}$:
$b^{-1} = \frac{1}{b} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$.
Теперь вычислим значение всего выражения:
$-(a^{\frac{1}{2}} + b^{-1}) = -(0,5 + 3) = -3,5$.
Ответ: -3,5.