Номер 1.26, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

$\left(\frac{a^{\frac{5}{6}} - a^{\frac{1}{3}}}{a - 1}\right)^{-1} - a^{\frac{1}{6}}$ и найдите его значение при $a = 64.$

Упростите выражение

Исходное выражение: $\left(\frac{a^{\frac{5}{6}} - a^{\frac{1}{3}}}{a - 1}\right)^{-1} - a^{\frac{1}{6}}$.

Область допустимых значений переменной $a$ определяется условиями: знаменатель $a-1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$; знаменатель $a^{\frac{5}{6}} - a^{\frac{1}{3}} \neq 0$; и выражение под корнем четной степени (которого здесь нет, но дробные степени подразумевают корни) должно быть неотрицательным, поэтому $a \ge 0$. Следовательно, $a > 0$ и $a \neq 1$.

1. Начнем с преобразования части выражения, возведенной в степень -1. Согласно свойству степеней $x^{-1} = \frac{1}{x}$, "перевернем" дробь:

$\frac{a - 1}{a^{\frac{5}{6}} - a^{\frac{1}{3}}} - a^{\frac{1}{6}}$

2. Разложим на множители числитель и знаменатель полученной дроби.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{3}}$ (так как $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ - это наименьшая степень):

$a^{\frac{5}{6}} - a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{5}{6}-\frac{1}{3}} - 1) = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{5}{6}-\frac{2}{6}} - 1) = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{3}{6}} - 1) = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{2}} - 1)$

В числителе применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, представив $a$ как $(a^{\frac{1}{2}})^2$:

$a - 1 = (a^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = (a^{\frac{1}{2}} - 1)(a^{\frac{1}{2}} + 1)$

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(a^{\frac{1}{2}} - 1)(a^{\frac{1}{2}} + 1)}{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{2}} - 1)}$

4. Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{2}} - 1)$ в числителе и знаменателе (это возможно, так как $a \neq 1$, а значит $a^{\frac{1}{2}} \neq 1$):

$\frac{a^{\frac{1}{2}} + 1}{a^{\frac{1}{3}}}$

5. Теперь вернемся к полному выражению, подставив упрощенную дробь:

$\frac{a^{\frac{1}{2}} + 1}{a^{\frac{1}{3}}} - a^{\frac{1}{6}}$

6. Разделим числитель дроби на знаменатель почленно и применим свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{a^{\frac{1}{3}}} - a^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}} + a^{-\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{6}}$

7. Вычислим разность в показателе степени:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$

Выражение принимает вид:

$a^{\frac{1}{6}} + a^{-\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{6}}$

8. Приведем подобные слагаемые:

$(a^{\frac{1}{6}} - a^{\frac{1}{6}}) + a^{-\frac{1}{3}} = 0 + a^{-\frac{1}{3}} = a^{-\frac{1}{3}}$

Ответ: $a^{-\frac{1}{3}}$

Найдите его значение при a = 64

1. Подставим значение $a = 64$ в упрощенное выражение $a^{-\frac{1}{3}}$:

$64^{-\frac{1}{3}}$

2. Используем свойство степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:

$64^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{64^{\frac{1}{3}}}$

3. Степень $\frac{1}{3}$ эквивалентна извлечению кубического корня:

$\frac{1}{64^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{64}}$

4. Вычисляем корень. Нам нужно найти число, которое при возведении в куб дает 64. Это число 4, так как $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$.

$\frac{1}{\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$