Номер 1.31, страница 16 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.31. Сравните числа:

a) $2^{\sqrt{3}}$ и 4;

б) $3^{\sqrt{10}}$ и 27;

в) 125 и $5^{2\sqrt{2}}$.

а)

Чтобы сравнить числа $2^{\sqrt{3}}$ и $4$, приведем их к одному основанию. Число $4$ можно представить как степень числа $2$: $4 = 2^2$.
Теперь задача сводится к сравнению чисел $2^{\sqrt{3}}$ и $2^2$.
Поскольку основание степени $2$ больше $1$, показательная функция $y=2^x$ является возрастающей. Это значит, что большему значению степени соответствует больший показатель. Следовательно, нам нужно сравнить показатели степеней: $\sqrt{3}$ и $2$.
Для сравнения иррационального числа $\sqrt{3}$ и рационального числа $2$ возведем оба в квадрат:
$(\sqrt{3})^2 = 3$
$2^2 = 4$
Так как $3 < 4$, то и $\sqrt{3} < 2$.
Поскольку показатель $\sqrt{3}$ меньше показателя $2$, то и значение степени $2^{\sqrt{3}}$ будет меньше значения степени $2^2$.
Следовательно, $2^{\sqrt{3}} < 4$.

Ответ: $2^{\sqrt{3}} < 4$.

б)

Чтобы сравнить числа $3^{\sqrt{10}}$ и $27$, приведем их к одному основанию. Число $27$ можно представить как степень числа $3$: $27 = 3^3$.
Теперь нам нужно сравнить числа $3^{\sqrt{10}}$ и $3^3$.
Основание степени $3$ больше $1$, поэтому функция $y=3^x$ является возрастающей. Сравним показатели степеней: $\sqrt{10}$ и $3$.
Возведем оба числа в квадрат:
$(\sqrt{10})^2 = 10$
$3^2 = 9$
Так как $10 > 9$, то и $\sqrt{10} > 3$.
Поскольку показатель $\sqrt{10}$ больше показателя $3$, то и значение степени $3^{\sqrt{10}}$ будет больше значения степени $3^3$.
Следовательно, $3^{\sqrt{10}} > 27$.

Ответ: $3^{\sqrt{10}} > 27$.

в)

Чтобы сравнить числа $125$ и $5^{2\sqrt{2}}$, приведем их к одному основанию. Число $125$ можно представить как степень числа $5$: $125 = 5^3$.
Теперь задача сводится к сравнению чисел $5^3$ и $5^{2\sqrt{2}}$.
Основание степени $5$ больше $1$, поэтому функция $y=5^x$ является возрастающей. Сравним показатели степеней: $3$ и $2\sqrt{2}$.
Возведем оба числа в квадрат:
$3^2 = 9$
$(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$
Так как $9 > 8$, то и $3 > 2\sqrt{2}$.
Поскольку показатель $3$ больше показателя $2\sqrt{2}$, то и значение степени $5^3$ будет больше значения степени $5^{2\sqrt{2}}$.
Следовательно, $125 > 5^{2\sqrt{2}}$.

Ответ: $125 > 5^{2\sqrt{2}}$.