Номер 1.36, страница 16 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.36. Представьте корень в виде степени с рациональным показателем:

а) $\sqrt[6]{2^5}$;

б) $\sqrt{5^3}$;

в) $\sqrt[4]{3^{-3}}$;

г) $\sqrt{7^{-5}}$;

д) $\sqrt[9]{a^4}$;

е) $\sqrt[10]{b^{-7}}$;

ж) $\sqrt[5]{(7a+b)^4}$;

з) $\sqrt{(m+9n)^{-1}}$.

Для преобразования корня в степень с рациональным показателем используется основное свойство: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, где $n$ — показатель корня, а $m$ — показатель степени подкоренного выражения. Если показатель корня не указан, он равен 2 (квадратный корень).

а) В выражении $\sqrt[6]{2^5}$ показатель корня $n=6$, а показатель степени подкоренного выражения $m=5$.
Применяем формулу: $\sqrt[6]{2^5} = 2^{\frac{5}{6}}$.
Ответ: $2^{\frac{5}{6}}$

б) В выражении $\sqrt{5^3}$ корень квадратный, поэтому его показатель $n=2$. Показатель степени под корнем $m=3$.
Применяем формулу: $\sqrt{5^3} = 5^{\frac{3}{2}}$.
Ответ: $5^{\frac{3}{2}}$

в) В выражении $\sqrt[4]{3^{-3}}$ показатель корня $n=4$, а показатель степени подкоренного выражения $m=-3$.
Применяем формулу: $\sqrt[4]{3^{-3}} = 3^{\frac{-3}{4}} = 3^{-\frac{3}{4}}$.
Ответ: $3^{-\frac{3}{4}}$

г) В выражении $\sqrt{7^{-5}}$ корень квадратный, поэтому его показатель $n=2$. Показатель степени под корнем $m=-5$.
Применяем формулу: $\sqrt{7^{-5}} = 7^{\frac{-5}{2}} = 7^{-\frac{5}{2}}$.
Ответ: $7^{-\frac{5}{2}}$

д) В выражении $\sqrt[9]{a^4}$ показатель корня $n=9$, а показатель степени подкоренного выражения $m=4$.
Применяем формулу: $\sqrt[9]{a^4} = a^{\frac{4}{9}}$.
Ответ: $a^{\frac{4}{9}}$

е) В выражении $\sqrt[10]{b^{-7}}$ показатель корня $n=10$, а показатель степени подкоренного выражения $m=-7$.
Применяем формулу: $\sqrt[10]{b^{-7}} = b^{\frac{-7}{10}} = b^{-\frac{7}{10}}$.
Ответ: $b^{-\frac{7}{10}}$

ж) В выражении $\sqrt[5]{(7a + b)^4}$ подкоренное выражение — это $(7a + b)$. Показатель корня $n=5$, а показатель степени подкоренного выражения $m=4$.
Применяем формулу: $\sqrt[5]{(7a + b)^4} = (7a + b)^{\frac{4}{5}}$.
Ответ: $(7a + b)^{\frac{4}{5}}$

з) В выражении $\sqrt{(m + 9n)^{-1}}$ корень квадратный, значит, показатель корня $n=2$. Показатель степени подкоренного выражения $m=-1$.
Применяем формулу: $\sqrt{(m + 9n)^{-1}} = (m + 9n)^{\frac{-1}{2}} = (m + 9n)^{-\frac{1}{2}}$.
Ответ: $(m + 9n)^{-\frac{1}{2}}$