Номер 1.35, страница 16 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.35. Представьте в виде корня выражение, используя определение степени с рациональным показателем:

а) $3^{\frac{2}{7}}$;

б) $6^{\frac{1}{3}}$;

в) $7^{\frac{1}{2}}$;

г) $5^{-\frac{2}{3}}$;

д) $10^{-\frac{1}{6}}$;

е) $2^{-0,4}$;

ж) $a^{\frac{3}{5}}$;

з) $b^{\frac{1}{8}}$;

и) $c^{-\frac{5}{9}}$;

к) $d^{-0,1}$;

л) $(x+5y)^{\frac{4}{7}}$;

м) $(5a-b)^{-0,3}$.

а) Используя определение степени с рациональным показателем $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, для выражения $3^{\frac{2}{7}}$ имеем: основание $a=3$, показатель степени под корнем $m=2$, показатель корня $n=7$. Таким образом, преобразование выглядит следующим образом: $3^{\frac{2}{7}} = \sqrt[7]{3^2} = \sqrt[7]{9}$.

Ответ: $\sqrt[7]{9}$.

б) Для выражения $6^{\frac{1}{3}}$, по определению $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, имеем $a=6$, $m=1$, $n=3$. Следовательно: $6^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{6^1} = \sqrt[3]{6}$.

Ответ: $\sqrt[3]{6}$.

в) Для выражения $7^{\frac{1}{2}}$, по определению $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, имеем $a=7$, $m=1$, $n=2$. Показатель корня 2 в записи обычно опускается: $7^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{7^1} = \sqrt{7}$.

Ответ: $\sqrt{7}$.

г) Для выражения $5^{-\frac{2}{3}}$ сначала используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$: $5^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{5^{\frac{2}{3}}}$. Затем, по определению $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, преобразуем знаменатель: $\frac{1}{5^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{5^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{25}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{25}}$.

д) В выражении $10^{-\frac{1}{6}}$ используем свойство степени с отрицательным показателем: $10^{-\frac{1}{6}} = \frac{1}{10^{\frac{1}{6}}}$. Затем представляем степень в знаменателе в виде корня: $\frac{1}{10^{\frac{1}{6}}} = \frac{1}{\sqrt[6]{10^1}} = \frac{1}{\sqrt[6]{10}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[6]{10}}$.

е) В выражении $2^{-0,4}$ сначала преобразуем десятичный показатель в обыкновенную дробь: $-0,4 = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$. Таким образом, $2^{-0,4} = 2^{-\frac{2}{5}}$. Далее, из-за отрицательного показателя, $2^{-\frac{2}{5}} = \frac{1}{2^{\frac{2}{5}}}$. Преобразуем степень в знаменателе в корень: $\frac{1}{2^{\frac{2}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{2^2}} = \frac{1}{\sqrt[5]{4}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[5]{4}}$.

ж) Используя определение $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ для выражения $a^{\frac{3}{5}}$, где основание - переменная $a$ (подразумевается $a \ge 0$), получаем: $a^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{a^3}$.

Ответ: $\sqrt[5]{a^3}$.

з) Для выражения $b^{\frac{1}{8}}$ (подразумевается $b \ge 0$), применяя определение степени с рациональным показателем, получаем: $b^{\frac{1}{8}} = \sqrt[8]{b^1} = \sqrt[8]{b}$.

Ответ: $\sqrt[8]{b}$.

и) Выражение $c^{-\frac{5}{9}}$ (подразумевается $c > 0$) имеет отрицательный показатель, поэтому $c^{-\frac{5}{9}} = \frac{1}{c^{\frac{5}{9}}}$. Преобразуя знаменатель в корень, получаем: $\frac{1}{c^{\frac{5}{9}}} = \frac{1}{\sqrt[9]{c^5}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[9]{c^5}}$.

к) В выражении $d^{-0,1}$ (подразумевается $d > 0$) преобразуем десятичный показатель в дробь: $-0,1 = -\frac{1}{10}$. Тогда $d^{-0,1} = d^{-\frac{1}{10}}$. Используя свойство отрицательной степени, $d^{-\frac{1}{10}} = \frac{1}{d^{\frac{1}{10}}}$. Представляем знаменатель в виде корня: $\frac{1}{d^{\frac{1}{10}}} = \frac{1}{\sqrt[10]{d}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[10]{d}}$.

л) Основанием степени в выражении $(x+5y)^{\frac{4}{7}}$ является $(x+5y)$ (подразумевается $x+5y \ge 0$). Применяя определение, получаем: $(x+5y)^{\frac{4}{7}} = \sqrt[7]{(x+5y)^4}$.

Ответ: $\sqrt[7]{(x+5y)^4}$.

м) Для выражения $(5a-b)^{-0,3}$ (подразумевается $5a-b > 0$) сначала преобразуем показатель: $-0,3 = -\frac{3}{10}$. Получаем $(5a-b)^{-\frac{3}{10}}$. Из-за отрицательного показателя: $(5a-b)^{-\frac{3}{10}} = \frac{1}{(5a-b)^{\frac{3}{10}}}$. Наконец, преобразуем знаменатель в корень: $\frac{1}{(5a-b)^{\frac{3}{10}}} = \frac{1}{\sqrt[10]{(5a-b)^3}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[10]{(5a-b)^3}}$.