Номер 1.41, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.41. Выполните действия:

а) $d^{2,2} \cdot \sqrt[5]{d^4};$

б) $(2\sqrt[3]{d})^2 - 2d^{\frac{2}{3}};$

в) $(-2\sqrt[4]{d})^3 + 8d^{\frac{3}{4}}.$

а) $d^{2,2} \cdot \sqrt[5]{d^4}$

Для выполнения этого действия представим оба множителя в виде степени с одинаковым основанием $d$.

Первый множитель: десятичную дробь в показателе степени $2,2$ можно записать как обыкновенную дробь $\frac{22}{10}$, которую можно сократить до $\frac{11}{5}$. Таким образом, $d^{2,2} = d^{\frac{11}{5}}$.

Второй множитель, корень n-ой степени, можно представить в виде степени с дробным показателем по формуле $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
Следовательно, $\sqrt[5]{d^4} = d^{\frac{4}{5}}$.

Теперь перемножим полученные степени, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$d^{\frac{11}{5}} \cdot d^{\frac{4}{5}} = d^{\frac{11}{5} + \frac{4}{5}} = d^{\frac{11+4}{5}} = d^{\frac{15}{5}} = d^3$.

Ответ: $d^3$.

б) $(2\sqrt[3]{d})^2 - 2d^{\frac{2}{3}}$

Сначала упростим первое слагаемое $(2\sqrt[3]{d})^2$. Используем правило возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$:
$(2\sqrt[3]{d})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt[3]{d})^2 = 4 \cdot (\sqrt[3]{d})^2$.

Представим корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[3]{d} = d^{\frac{1}{3}}$.
Тогда $(\sqrt[3]{d})^2 = (d^{\frac{1}{3}})^2$. По правилу возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$(d^{\frac{1}{3}})^2 = d^{\frac{1}{3} \cdot 2} = d^{\frac{2}{3}}$.

Таким образом, первое слагаемое равно $4d^{\frac{2}{3}}$.

Теперь подставим это в исходное выражение:
$4d^{\frac{2}{3}} - 2d^{\frac{2}{3}}$.

Выполним вычитание подобных слагаемых (слагаемые с одинаковой степенной частью):
$(4-2)d^{\frac{2}{3}} = 2d^{\frac{2}{3}}$.

Ответ: $2d^{\frac{2}{3}}$.

в) $(-2\sqrt[4]{d})^3 + 8d^{\frac{3}{4}}$

Упростим первое слагаемое $(-2\sqrt[4]{d})^3$. Используем правило возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$:
$(-2\sqrt[4]{d})^3 = (-2)^3 \cdot (\sqrt[4]{d})^3 = -8 \cdot (\sqrt[4]{d})^3$.

Представим корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[4]{d} = d^{\frac{1}{4}}$.
Тогда $(\sqrt[4]{d})^3 = (d^{\frac{1}{4}})^3$. По правилу возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$(d^{\frac{1}{4}})^3 = d^{\frac{1}{4} \cdot 3} = d^{\frac{3}{4}}$.

Таким образом, первое слагаемое равно $-8d^{\frac{3}{4}}$.

Подставим это в исходное выражение:
$-8d^{\frac{3}{4}} + 8d^{\frac{3}{4}}$.

Складываем подобные слагаемые:
$(-8+8)d^{\frac{3}{4}} = 0 \cdot d^{\frac{3}{4}} = 0$.

Ответ: $0$.