Номер 1.43, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.43. Упростите выражение $ (0,36a^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} \cdot (\frac{1}{125}a)^{-\frac{1}{3}} $

Для упрощения данного выражения необходимо последовательно применить свойства степеней.

Исходное выражение:

$ (0,36a^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} \cdot (\frac{1}{125}a)^{-\frac{1}{3}} $

1. Раскроем скобки, используя свойство возведения произведения в степень $ (xy)^n = x^n y^n $:

$ (0,36)^{\frac{1}{2}} \cdot (a^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} \cdot (\frac{1}{125})^{-\frac{1}{3}} \cdot (a^1)^{-\frac{1}{3}} $

2. Упростим каждый множитель по отдельности:

• Вычислим $ (0,36)^{\frac{1}{2}} $. Степень $ \frac{1}{2} $ эквивалентна квадратному корню: $ \sqrt{0,36} = 0,6 $.

• Упростим $ (a^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} $. При возведении степени в степень их показатели перемножаются $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $: $ a^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{6}} = a^{\frac{1}{3}} $.

• Вычислим $ (\frac{1}{125})^{-\frac{1}{3}} $. Отрицательная степень означает, что нужно перевернуть дробь: $ (125)^{\frac{1}{3}} $. Степень $ \frac{1}{3} $ эквивалентна кубическому корню: $ \sqrt[3]{125} = 5 $, так как $ 5^3 = 125 $.

• Упростим $ (a^1)^{-\frac{1}{3}} $. По свойству возведения степени в степень: $ a^{1 \cdot (-\frac{1}{3})} = a^{-\frac{1}{3}} $.

3. Подставим упрощенные части обратно в выражение:

$ 0,6 \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot 5 \cdot a^{-\frac{1}{3}} $

4. Сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковым основанием:

$ (0,6 \cdot 5) \cdot (a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{3}}) $

5. Выполним умножение. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $:

$ 3 \cdot a^{\frac{1}{3} + (-\frac{1}{3})} = 3 \cdot a^{\frac{1}{3} - \frac{1}{3}} = 3 \cdot a^0 $

6. Любое число (кроме 0) в нулевой степени равно 1. Так как в исходном выражении переменная $ a $ находится под знаком корня, $ a \ge 0 $. Из-за отрицательной степени $ a \neq 0 $, следовательно $ a>0 $.

$ 3 \cdot 1 = 3 $

Ответ: 3