Номер 1.49, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.49. Упростите выражение, используя формулы сокращенного умножения:

а) $ (a^{\frac{1}{2}} - 3b^{\frac{1}{2}}) (a^{\frac{1}{2}} + 3b^{\frac{1}{2}}) - a; $

б) $ (3a^{\frac{1}{4}} + a^{\frac{3}{4}})^2 - 6a. $

а) Исходное выражение: $(a^{\frac{1}{2}} - 3b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + 3b^{\frac{1}{2}}) - a$.
Первая часть выражения, произведение скобок $(a^{\frac{1}{2}} - 3b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + 3b^{\frac{1}{2}})$, соответствует формуле разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
В данном случае $x = a^{\frac{1}{2}}$ и $y = 3b^{\frac{1}{2}}$.
Применим формулу:
$(a^{\frac{1}{2}} - 3b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + 3b^{\frac{1}{2}}) = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (3b^{\frac{1}{2}})^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3^2 \cdot b^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 - 9b^1 = a - 9b$.
Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:
$(a - 9b) - a = a - 9b - a$.
Приведем подобные слагаемые:
$a - a - 9b = -9b$.
Ответ: $-9b$

б) Исходное выражение: $(3a^{\frac{1}{4}} + a^{\frac{3}{4}})^2 - 6a$.
Первая часть выражения, $(3a^{\frac{1}{4}} + a^{\frac{3}{4}})^2$, соответствует формуле квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В данном случае $x = 3a^{\frac{1}{4}}$ и $y = a^{\frac{3}{4}}$.
Применим формулу:
$(3a^{\frac{1}{4}} + a^{\frac{3}{4}})^2 = (3a^{\frac{1}{4}})^2 + 2 \cdot (3a^{\frac{1}{4}}) \cdot (a^{\frac{3}{4}}) + (a^{\frac{3}{4}})^2$.
Упростим каждое слагаемое по отдельности, используя свойства степеней $(x^m)^n = x^{mn}$ и $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$(3a^{\frac{1}{4}})^2 = 3^2 \cdot a^{\frac{1}{4} \cdot 2} = 9a^{\frac{2}{4}} = 9a^{\frac{1}{2}}$.
$2 \cdot (3a^{\frac{1}{4}}) \cdot (a^{\frac{3}{4}}) = 6 \cdot a^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 6a^{\frac{4}{4}} = 6a^1 = 6a$.
$(a^{\frac{3}{4}})^2 = a^{\frac{3}{4} \cdot 2} = a^{\frac{6}{4}} = a^{\frac{3}{2}}$.
Результат раскрытия скобок: $9a^{\frac{1}{2}} + 6a + a^{\frac{3}{2}}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$(9a^{\frac{1}{2}} + 6a + a^{\frac{3}{2}}) - 6a = 9a^{\frac{1}{2}} + 6a + a^{\frac{3}{2}} - 6a$.
Приведем подобные слагаемые:
$9a^{\frac{1}{2}} + (6a - 6a) + a^{\frac{3}{2}} = 9a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{3}{2}}$.
Ответ: $9a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{3}{2}}$