Номер 1.53, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.53. Выполните действия со степенью с действительным показателем:

a) $a^{2+\sqrt{2}} : a^{\sqrt{2}}$;

б) $x^{2\sqrt{2}} \cdot x^{-\sqrt{8}}$;

в) $(b^{\sqrt{5}})^{2\sqrt{5}}$.

а) $a^{2+\sqrt{2}} : a^{\sqrt{2}}$

Для решения данного примера воспользуемся свойством степени. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $x^m : x^n = x^{m-n}$.

В нашем случае основание равно $a$, первый показатель степени $m = 2+\sqrt{2}$, а второй $n = \sqrt{2}$.

Выполним вычитание показателей:

$(2+\sqrt{2}) - \sqrt{2} = 2 + \sqrt{2} - \sqrt{2} = 2$.

Таким образом, выражение упрощается до:

$a^{(2+\sqrt{2}) - \sqrt{2}} = a^2$.

Ответ: $a^2$.

б) $x^{2\sqrt{2}} \cdot x^{-\sqrt{8}}$

Для решения этого примера используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием, согласно которому показатели степеней складываются: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Сначала упростим показатель второй степени $-\sqrt{8}$.

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Следовательно, выражение можно переписать в виде:

$x^{2\sqrt{2}} \cdot x^{-2\sqrt{2}}$.

Теперь сложим показатели степеней:

$2\sqrt{2} + (-2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 0$.

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. Получаем:

$x^0 = 1$ (при $x \neq 0$).

Ответ: $1$.

в) $(b^{\sqrt{5}})^{2\sqrt{5}}$

Здесь мы имеем дело с возведением степени в степень. По свойству степеней, в этом случае показатели перемножаются: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Основание степени равно $b$, внутренний показатель $m = \sqrt{5}$, а внешний показатель $n = 2\sqrt{5}$.

Перемножим показатели:

$\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} = 2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 2 \cdot 5 = 10$.

Следовательно, итоговое выражение будет:

$(b^{\sqrt{5}})^{2\sqrt{5}} = b^{\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}} = b^{10}$.

Ответ: $b^{10}$.