Номер 1.59, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.59. Выберите все верные утверждения:

а) выражение $\sqrt[4]{a}$ имеет смысл при $a \ge 0;$

б) выражение $\sqrt[7]{a}$ имеет смысл при $a \in R;$

в) выражение $\frac{1}{\sqrt[10]{a}}$ имеет смысл при $a \ne 0;$

г) выражение $\frac{1}{\sqrt[5]{a}}$ имеет смысл при $a \ne 0.$

а) Для выражения $\sqrt[4]{a}$ показатель корня $n=4$ является четным числом. Корень четной степени из числа $a$ в области действительных чисел определен только для неотрицательных значений $a$, то есть при $a \ge 0$. Следовательно, данное утверждение верно.

Ответ: верно.

б) Для выражения $\sqrt[7]{a}$ показатель корня $n=7$ является нечетным числом. Корень нечетной степени из числа $a$ определен для любого действительного числа $a \in R$. Следовательно, данное утверждение верно.

Ответ: верно.

в) Выражение $\frac{1}{\sqrt[10]{a}}$ определено, если выполнены два условия. Во-первых, так как показатель корня $n=10$ — четное число, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a \ge 0$. Во-вторых, так как корень находится в знаменателе, он не должен быть равен нулю: $\sqrt[10]{a} \neq 0$, что означает $a \neq 0$. Объединив оба условия, получаем, что выражение имеет смысл при $a > 0$. Утверждение, что оно имеет смысл при $a \neq 0$, неверно, так как не исключает отрицательные значения $a$.

Ответ: неверно.

г) Выражение $\frac{1}{\sqrt[5]{a}}$ определено, если выполнены два условия. Во-первых, так как показатель корня $n=5$ — нечетное число, корень $\sqrt[5]{a}$ определен для любого действительного числа $a$. Во-вторых, знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt[5]{a} \neq 0$, что означает $a \neq 0$. Таким образом, единственное ограничение — это $a \neq 0$. Следовательно, данное утверждение верно.

Ответ: верно.