Номер 1.65, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.65. Представьте периодическую дробь в виде обыкновенной, используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

а) $0,(4)$;

б) $0,(17)$;

в) $0,1(5)$;

г) $0,23(7)$.

Для представления периодической дроби в виде обыкновенной используется формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель ($|q| < 1$).

а) 0,(4)
Представим периодическую дробь $0,(4)$ в виде бесконечной суммы:
$0,(4) = 0.4444... = 0.4 + 0.04 + 0.004 + ...$
Эта сумма является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой первый член $b_1 = 0.4$, а знаменатель $q = \frac{0.04}{0.4} = 0.1$.
Найдем сумму этой прогрессии по формуле:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{0.4}{1 - 0.1} = \frac{0.4}{0.9} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$.

б) 0,(17)
Представим периодическую дробь $0,(17)$ в виде бесконечной суммы:
$0,(17) = 0.171717... = 0.17 + 0.0017 + 0.000017 + ...$
Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = 0.17$ и знаменателем $q = \frac{0.0017}{0.17} = 0.01$.
Найдем сумму по формуле:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{0.17}{1 - 0.01} = \frac{0.17}{0.99} = \frac{17}{99}$.
Ответ: $\frac{17}{99}$.

в) 0,1(5)
Представим смешанную периодическую дробь $0,1(5)$ в виде суммы непериодической части и периодической части:
$0,1(5) = 0.1 + 0.0(5)$.
Периодическую часть $0.0(5)$ представим в виде бесконечной суммы:
$0.0(5) = 0.05 + 0.005 + 0.0005 + ...$
Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_1 = 0.05$, а знаменатель $q = 0.1$.
Сумма этой прогрессии (периодической части):
$S_{период} = \frac{0.05}{1 - 0.1} = \frac{0.05}{0.9} = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}$.
Теперь сложим непериодическую часть и полученную дробь:
$0.1(5) = 0.1 + \frac{1}{18} = \frac{1}{10} + \frac{1}{18} = \frac{9}{90} + \frac{5}{90} = \frac{14}{90} = \frac{7}{45}$.
Ответ: $\frac{7}{45}$.

г) 0,23(7)
Представим смешанную периодическую дробь $0,23(7)$ в виде суммы непериодической и периодической частей:
$0,23(7) = 0.23 + 0.00(7)$.
Периодическую часть $0.00(7)$ представим в виде бесконечной суммы:
$0.00(7) = 0.007 + 0.0007 + 0.00007 + ...$
Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = 0.007$ и знаменателем $q = 0.1$.
Сумма этой прогрессии (периодической части):
$S_{период} = \frac{0.007}{1 - 0.1} = \frac{0.007}{0.9} = \frac{7}{900}$.
Теперь сложим непериодическую часть и полученную дробь:
$0.23(7) = 0.23 + \frac{7}{900} = \frac{23}{100} + \frac{7}{900} = \frac{23 \cdot 9}{900} + \frac{7}{900} = \frac{207}{900} + \frac{7}{900} = \frac{214}{900} = \frac{107}{450}$.
Ответ: $\frac{107}{450}$.