Номер 1.72, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.72. Упростите выражение с помощью формул преобразования тригонометрических функций одного аргумента:

а) $\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x - \sin^2 x$;

б) $(\sin x + \cos x)^2 - 1$.

а)

Дано выражение $tg x \cdot ctg x - \sin^2 x$.

Для упрощения этого выражения воспользуемся основными тригонометрическими тождествами. Во-первых, произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице, при условии, что $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$:

$tg x \cdot ctg x = 1$

Подставим это значение в исходное выражение:

$1 - \sin^2 x$

Теперь используем основное тригонометрическое тождество, связывающее синус и косинус:

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Из этого тождества следует, что:

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$

Таким образом, исходное выражение равно $\cos^2 x$.

Ответ: $\cos^2 x$.

б)

Дано выражение $(\sin x + \cos x)^2 - 1$.

Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x) - 1$

Сгруппируем слагаемые $\sin^2 x$ и $\cos^2 x$. Согласно основному тригонометрическому тождеству, их сумма равна 1:

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Подставим 1 в наше выражение:

$(1) + 2 \sin x \cos x - 1$

Упростим, сократив единицы:

$1 + 2 \sin x \cos x - 1 = 2 \sin x \cos x$

Полученное выражение $2 \sin x \cos x$ является формулой синуса двойного угла:

$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$

Таким образом, исходное выражение упрощается до $\sin(2x)$.

Ответ: $\sin(2x)$.