Номер 1.75, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.75. Решите тригонометрическое уравнение:

a) $ \cos3x - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0; $

б) $ \sin\frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 0; $

в) $ \tan0,3x - \sqrt{3} = 0. $

Найдите наименьший положительный корень каждого уравнения.

а)

Исходное уравнение: $ \cos3x - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 $.
Перенесем свободный член в правую часть: $ \cos3x = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \cos t = a $. Его решение находится по формуле $ t = \pm\arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
В нашем случае $ t = 3x $ и $ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Значение арккосинуса $ \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4} $.
Подставляем в формулу: $ 3x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Чтобы найти $ x $, разделим обе части на 3: $ x = \pm\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.
Это общее решение уравнения.

Теперь найдем наименьший положительный корень. Для этого рассмотрим две серии корней и будем подставлять целые значения $ n $, начиная с 0.
1. $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} $
При $ n = 0 $, $ x = \frac{\pi}{12} $. Это положительный корень.
При $ n = -1 $, $ x = \frac{\pi}{12} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi - 8\pi}{12} = -\frac{7\pi}{12} $ (отрицательный).

2. $ x = -\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} $
При $ n = 0 $, $ x = -\frac{\pi}{12} $ (отрицательный).
При $ n = 1 $, $ x = -\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} = \frac{-\pi + 8\pi}{12} = \frac{7\pi}{12} $. Это положительный корень.

Сравниваем полученные положительные корни: $ \frac{\pi}{12} $ и $ \frac{7\pi}{12} $. Наименьшим из них является $ \frac{\pi}{12} $.

Ответ: общее решение $ x = \pm\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $; наименьший положительный корень $ \frac{\pi}{12} $.

б)

Исходное уравнение: $ \sin\frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 0 $.
Перенесем свободный член в правую часть: $ \sin\frac{x}{2} = -\frac{1}{2} $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \sin t = a $. Его решение находится по формуле $ t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
В нашем случае $ t = \frac{x}{2} $ и $ a = -\frac{1}{2} $. Значение арксинуса $ \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} $.
Подставляем в формулу: $ \frac{x}{2} = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
$ \frac{x}{2} = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Чтобы найти $ x $, умножим обе части на 2: $ x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Это общее решение уравнения.

Теперь найдем наименьший положительный корень, подставляя целые значения $ k $.
При $ k = 0 $, $ x = (-1)^{1}\frac{\pi}{3} + 0 = -\frac{\pi}{3} $ (отрицательный).
При $ k = 1 $, $ x = (-1)^{1+1}\frac{\pi}{3} + 2\pi(1) = (-1)^2\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} $. Это положительный корень.
При $ k = 2 $, $ x = (-1)^{2+1}\frac{\pi}{3} + 2\pi(2) = (-1)^3\frac{\pi}{3} + 4\pi = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3} $.
При $ k = -1 $, $ x = (-1)^{-1+1}\frac{\pi}{3} + 2\pi(-1) = (-1)^0\frac{\pi}{3} - 2\pi = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3} $ (отрицательный).

Наименьший положительный корень получается при $ k=1 $ и равен $ \frac{7\pi}{3} $.

Ответ: общее решение $ x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $; наименьший положительный корень $ \frac{7\pi}{3} $.

в)

Исходное уравнение: $ \tg(0,3x) - \sqrt{3} = 0 $.
Перенесем свободный член в правую часть: $ \tg(0,3x) = \sqrt{3} $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \tg t = a $. Его решение находится по формуле $ t = \operatorname{arctg}(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
В нашем случае $ t = 0,3x $ и $ a = \sqrt{3} $. Значение арктангенса $ \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} $.
Подставляем в формулу: $ 0,3x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Чтобы найти $ x $, разделим обе части на 0,3. Удобнее представить 0,3 как обыкновенную дробь $ \frac{3}{10} $.
$ \frac{3}{10}x = \frac{\pi}{3} + \pi n $
$ x = \frac{10}{3} \left(\frac{\pi}{3} + \pi n\right) $
$ x = \frac{10\pi}{9} + \frac{10\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.
Это общее решение уравнения.

Теперь найдем наименьший положительный корень, подставляя целые значения $ n $.
При $ n = 0 $, $ x = \frac{10\pi}{9} + 0 = \frac{10\pi}{9} $. Это положительный корень.
При $ n = 1 $, $ x = \frac{10\pi}{9} + \frac{10\pi}{3} = \frac{10\pi + 30\pi}{9} = \frac{40\pi}{9} $.
При $ n = -1 $, $ x = \frac{10\pi}{9} - \frac{10\pi}{3} = \frac{10\pi - 30\pi}{9} = -\frac{20\pi}{9} $ (отрицательный).

Наименьший положительный корень получается при $ n=0 $ и равен $ \frac{10\pi}{9} $.

Ответ: общее решение $ x = \frac{10\pi}{9} + \frac{10\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $; наименьший положительный корень $ \frac{10\pi}{9} $.