Номер 1.82, страница 22 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.82. Исследуйте функцию $f(x) = x^2 - 3x^4$ на четность.

Чтобы исследовать функцию на четность, необходимо проверить выполнение двух условий.
Во-первых, область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже).
Во-вторых, нужно проверить одно из следующих равенств:

• $f(-x) = f(x)$ — в этом случае функция является четной.
• $f(-x) = -f(x)$ — в этом случае функция является нечетной.

Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция не является ни четной, ни нечетной.

Рассмотрим заданную функцию $f(x) = x^2 - 3x^4$.

1. Область определения
Данная функция является многочленом, поэтому ее область определения — это все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля, так что первое условие выполнено.

2. Проверка равенства
Найдем значение функции от аргумента $-x$, подставив $-x$ вместо $x$ в формулу функции:
$f(-x) = (-x)^2 - 3(-x)^4$
Поскольку возведение отрицательного числа в четную степень дает положительный результат, имеем:
$(-x)^2 = x^2$
$(-x)^4 = x^4$
Подставим эти результаты обратно в выражение для $f(-x)$:
$f(-x) = x^2 - 3x^4$

Теперь сравним полученное выражение для $f(-x)$ с исходной функцией $f(x)$:
$f(-x) = x^2 - 3x^4$
$f(x) = x^2 - 3x^4$
Мы видим, что выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Так как область определения функции симметрична относительно нуля и выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, мы можем заключить, что функция является четной.

Ответ: функция является четной.