Номер 1.84, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.84. Степенная функция задана формулой $f(x) = x^{-\frac{3}{4}}$. Найдите:

а) $f(1)$;

б) $f(16)$;

в) $f(\frac{1}{81})$;

г) $f(\sqrt[3]{2})$.

Для решения задачи воспользуемся определением степенной функции $f(x) = x^{-\frac{3}{4}}$ и свойствами степеней.

Чтобы найти значение функции в точке $x=1$, подставим это значение в формулу: $f(1) = 1^{-\frac{3}{4}}$. Любая степень числа 1 равна 1. Следовательно, $f(1) = 1$.

Ответ: $1$.

Подставим $x=16$ в формулу функции: $f(16) = 16^{-\frac{3}{4}}$. Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $f(16) = \frac{1}{16^{\frac{3}{4}}}$. Теперь вычислим знаменатель. Представим число $16$ как $2^4$ и применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$. Таким образом, получаем: $f(16) = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$.

Подставим $x=\frac{1}{81}$ в формулу функции: $f(\frac{1}{81}) = (\frac{1}{81})^{-\frac{3}{4}}$. Воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$: $f(\frac{1}{81}) = 81^{\frac{3}{4}}$. Представим число $81$ как $3^4$ и применим свойство возведения степени в степень: $81^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3 = 27$. Следовательно: $f(\frac{1}{81}) = 27$.

Ответ: $27$.

Подставим $x=\sqrt[3]{2}$ в формулу функции. Сначала запишем $\sqrt[3]{2}$ в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}$. $f(\sqrt[3]{2}) = (2^{\frac{1}{3}})^{-\frac{3}{4}}$. Используем свойство возведения степени в степень: $f(\sqrt[3]{2}) = 2^{\frac{1}{3} \cdot (-\frac{3}{4})} = 2^{-\frac{3}{12}} = 2^{-\frac{1}{4}}$. Теперь преобразуем полученное выражение, используя свойства степеней и корней: $2^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{2}}$. Для удобства можно избавиться от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt[4]{2^3}$: $\frac{1}{\sqrt[4]{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt[4]{2^3}}{\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{2^3}} = \frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt[4]{2^4}} = \frac{\sqrt[4]{8}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt[4]{8}}{2}$.