Номер 1.85, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.85. Найдите значение функции $g(x)$ в точке $x_0$, если:

a) $g(x) = x^{\frac{1}{2}}$, $x_0 = 9$; б) $g(x) = x^{-\frac{2}{3}}$, $x_0 = 8$;

в) $g(x) = x^{\frac{5}{3}}$, $x_0 = 0,001$; г) $g(x) = x^{-\frac{4}{3}}$, $x_0 = \frac{1}{27}$.

а) Чтобы найти значение функции $g(x) = x^{\frac{1}{2}}$ в точке $x_0 = 9$, нужно подставить значение $x_0$ в формулу функции.

$g(9) = 9^{\frac{1}{2}}$

Возведение в степень $\frac{1}{2}$ эквивалентно извлечению квадратного корня:

$g(9) = \sqrt{9} = 3$

Ответ: 3

б) Чтобы найти значение функции $g(x) = x^{-\frac{2}{3}}$ в точке $x_0 = 8$, подставим значение $x_0$ в формулу функции.

$g(8) = 8^{-\frac{2}{3}}$

Используем свойства степени с рациональным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$.

$g(8) = \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{8})^2}$

Поскольку кубический корень из 8 равен 2 ($2^3 = 8$), получаем:

$g(8) = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

в) Чтобы найти значение функции $g(x) = x^{\frac{5}{3}}$ в точке $x_0 = 0,001$, подставим значение $x_0$ в формулу функции.

$g(0,001) = (0,001)^{\frac{5}{3}}$

Представим десятичную дробь $0,001$ в виде степени: $0,001 = (0,1)^3$.

$g(0,001) = ((0,1)^3)^{\frac{5}{3}}$

По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$g(0,001) = (0,1)^{3 \cdot \frac{5}{3}} = (0,1)^5 = 0,00001$

Ответ: 0,00001

г) Чтобы найти значение функции $g(x) = x^{-\frac{4}{3}}$ в точке $x_0 = \frac{1}{27}$, подставим значение $x_0$ в формулу функции.

$g(\frac{1}{27}) = (\frac{1}{27})^{-\frac{4}{3}}$

Используем свойство степени с отрицательным показателем для дроби $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$g(\frac{1}{27}) = (27)^{\frac{4}{3}}$

Далее, используя свойство $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$:

$g(\frac{1}{27}) = (\sqrt[3]{27})^4 = 3^4 = 81$

Ответ: 81