Номер 1.90, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.90. Расположите в порядке возрастания значения выражений, используя свойство монотонности степенной функции:

a) $5,9^{\sqrt{2}}$, $1,8^{\sqrt{2}}$ и $3,7^{\sqrt{2}}$;

б) $(\sqrt{3})^{-5,1}$, $(\sqrt{2})^{-5,1}$ и $(\sqrt{5})^{-5,1}$.

а) Даны выражения $5,9^{\sqrt{2}}$, $1,8^{\sqrt{2}}$ и $3,7^{\sqrt{2}}$.

Эти выражения можно рассматривать как значения степенной функции $y = x^p$ с одинаковым показателем степени $p = \sqrt{2}$ и различными основаниями $x$, равными $5,9$, $1,8$ и $3,7$.

Свойство монотонности степенной функции $y = x^p$ зависит от знака показателя $p$. В данном случае показатель степени $p = \sqrt{2} \approx 1,414 > 0$.

Если показатель степени $p > 0$, то степенная функция $y = x^p$ является монотонно возрастающей на промежутке $(0; +\infty)$. Это означает, что для любых положительных оснований $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $x_1^p < x_2^p$.

Сравним основания данных выражений: $1,8$, $3,7$, $5,9$.

Очевидно, что $1,8 < 3,7 < 5,9$.

Поскольку функция $y = x^{\sqrt{2}}$ возрастающая, то и значения выражений будут расположены в том же порядке, что и их основания:

$1,8^{\sqrt{2}} < 3,7^{\sqrt{2}} < 5,9^{\sqrt{2}}$

Ответ: $1,8^{\sqrt{2}}$, $3,7^{\sqrt{2}}$, $5,9^{\sqrt{2}}$.

б) Даны выражения $(\sqrt{3})^{-5,1}$, $(\sqrt{2})^{-5,1}$ и $(\sqrt{5})^{-5,1}$.

Эти выражения являются значениями степенной функции $y = x^p$ с одинаковым показателем степени $p = -5,1$ и различными основаниями $x$, равными $\sqrt{3}$, $\sqrt{2}$ и $\sqrt{5}$.

В данном случае показатель степени $p = -5,1 < 0$.

Если показатель степени $p < 0$, то степенная функция $y = x^p$ является монотонно убывающей на промежутке $(0; +\infty)$. Это означает, что для любых положительных оснований $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $x_1^p > x_2^p$ (знак неравенства меняется на противоположный).

Сначала сравним основания: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$.

Сравним подкоренные выражения: $2 < 3 < 5$.

Так как функция $f(t) = \sqrt{t}$ является возрастающей, то для корней выполняется то же неравенство: $\sqrt{2} < \sqrt{3} < \sqrt{5}$.

Поскольку степенная функция $y = x^{-5,1}$ с отрицательным показателем является убывающей, то для значений выражений будет выполняться обратное неравенство:

$(\sqrt{2})^{-5,1} > (\sqrt{3})^{-5,1} > (\sqrt{5})^{-5,1}$

Чтобы расположить значения в порядке возрастания, запишем это неравенство в обратном порядке (от меньшего к большему):

$(\sqrt{5})^{-5,1} < (\sqrt{3})^{-5,1} < (\sqrt{2})^{-5,1}$

Ответ: $(\sqrt{5})^{-5,1}$, $(\sqrt{3})^{-5,1}$, $(\sqrt{2})^{-5,1}$.