Номер 1.93, страница 29 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.93. Изобразите схематически график функции:

а) $f(x) = \frac{1}{x^2}$;

б) $g(x) = x^{1.5}$;

в) $h(x) = x^{-\frac{3}{4}};

г) $p(x) = x^{-\frac{5}{3}}.$

а) Функция $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$ представляет собой степенную функцию, которую можно записать как $f(x) = \sqrt{x}$. Область определения этой функции — все неотрицательные числа, то есть $D(f) = [0, +\infty)$, поскольку извлечение корня четной степени определено только для неотрицательных чисел. График функции начинается в точке $(0,0)$ и полностью расположен в первой координатной четверти. Функция является возрастающей на всей области определения, так как ее производная $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ положительна при $x > 0$. Вторая производная $f''(x) = -\frac{1}{4x\sqrt{x}}$ отрицательна при $x > 0$, что означает, что график функции является выпуклым вверх. Ключевые точки для построения: $(0,0)$, $(1,1)$, $(4,2)$.

Ответ: График функции — это ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. Она начинается в точке (0,0), проходит через точку (1,1), возрастает и выпукла вверх.

б) Функция $g(x) = x^{1.5}$, или $g(x) = x^{\frac{3}{2}}$. Ее можно записать как $g(x) = \sqrt{x^3}$ или $g(x) = (\sqrt{x})^3$. Область определения, как и в предыдущем случае, $D(g) = [0, +\infty)$ из-за наличия корня четной степени. График также начинается в точке $(0,0)$ и лежит в первой координатной четверти. Первая производная $g'(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$ положительна для $x > 0$, следовательно, функция возрастает. В точке $x=0$ производная равна нулю ($g'(0) = 0$), что означает, что график касается оси абсцисс в начале координат. Вторая производная $g''(x) = \frac{3}{4\sqrt{x}}$ положительна для $x > 0$, поэтому график является выпуклым вниз (вогнутым). Ключевые точки: $(0,0)$, $(1,1)$, $(4, 4^{1.5}) = (4,8)$.

Ответ: График функции расположен в первой координатной четверти, начинается в точке (0,0), касаясь в ней оси Ox. График проходит через точку (1,1), функция возрастает и выпукла вниз (является вогнутой).

в) Функция $h(x) = x^{-\frac{3}{4}}$, или $h(x) = \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$. Показатель степени отрицательный, поэтому $x \neq 0$. Знаменатель в показателе степени (4) — четный, поэтому подкоренное выражение должно быть строго положительным: $x > 0$. Таким образом, область определения $D(h) = (0, +\infty)$. График полностью лежит в первой координатной четверти. Функция имеет асимптоты. При $x \to 0^+$ значение $h(x) \to +\infty$, следовательно, ось Oy ($x=0$) является вертикальной асимптотой. При $x \to +\infty$ значение $h(x) \to 0$, следовательно, ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой. Производная $h'(x) = -\frac{3}{4}x^{-\frac{7}{4}}$ отрицательна при $x > 0$, значит, функция убывает на всей области определения. Вторая производная $h''(x) = \frac{21}{16}x^{-\frac{11}{4}}$ положительна при $x > 0$, поэтому график является выпуклым вниз (вогнутым). Ключевая точка: $(1, 1^{-\frac{3}{4}}) = (1,1)$.

Ответ: График функции расположен в первой координатной четверти, имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Функция убывает, выпукла вниз (является вогнутой) и проходит через точку (1,1).

г) Функция $p(x) = x^{-\frac{5}{3}}$, или $p(x) = \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^5}}$. Показатель степени отрицательный, значит $x \neq 0$. Знаменатель в показателе степени (3) — нечетный, поэтому функция определена для всех $x$, кроме нуля. Область определения $D(p) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Проверим функцию на четность: $p(-x) = (-x)^{-\frac{5}{3}} = -x^{-\frac{5}{3}} = -p(x)$. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат. Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$. При $x \to 0^+$, $p(x) \to +\infty$. При $x \to 0^-$, $p(x) \to -\infty$. Производная $p'(x) = -\frac{5}{3}x^{-\frac{8}{3}} = -\frac{5}{3(\sqrt[3]{x})^8}$ всегда отрицательна для $x \neq 0$, так как знаменатель всегда положителен. Значит, функция убывает на обоих интервалах своей области определения. Вторая производная $p''(x) = \frac{40}{9}x^{-\frac{11}{3}}$. При $x > 0$, $p''(x) > 0$ (график выпуклый вниз). При $x < 0$, $p''(x) < 0$ (график выпуклый вверх). Ключевые точки: $(1,1)$, $(-1,-1)$.

Ответ: График функции симметричен относительно начала координат и состоит из двух ветвей. Ветви расположены в первой и третьей четвертях и имеют асимптоты $x=0$ и $y=0$. В первой четверти график убывает от $+\infty$ до 0, выпуклый вниз и проходит через (1,1). В третьей четверти график также убывает от 0 до $-\infty$, выпуклый вверх и проходит через (-1,-1).