Номер 1.100, страница 30 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.100. Сравните:

a) $3,7^{-0,4}$ и $7,4^{-0,4}$;

б) $(\sqrt{2})^{\frac{5}{7}}$ и $(\sqrt{3})^{\frac{5}{7}}$.

а) Сравним числа $3,7^{-0,4}$ и $7,4^{-0,4}$.

Для сравнения этих выражений рассмотрим степенную функцию $y = x^a$. В данном случае числа имеют одинаковый показатель степени $a = -0,4$, но разные основания.

Поскольку показатель степени $a = -0,4$ является отрицательным числом ($a < 0$), степенная функция $y = x^{-0,4}$ является убывающей на промежутке $(0; +\infty)$. Это означает, что для любых положительных оснований $x_1$ и $x_2$, если $x_1 < x_2$, то $x_1^a > x_2^a$.

Сравним основания степеней: $3,7$ и $7,4$.

Очевидно, что $3,7 < 7,4$.

Так как функция является убывающей, то меньшему основанию ($3,7$) будет соответствовать большее значение степени. Таким образом, получаем:

$3,7^{-0,4} > 7,4^{-0,4}$.

Ответ: $3,7^{-0,4} > 7,4^{-0,4}$.

б) Сравним числа $(\sqrt{2})^{\frac{5}{7}}$ и $(\sqrt{3})^{\frac{5}{7}}$.

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим степенную функцию $y = x^a$. Здесь показатель степени $a = \frac{5}{7}$ одинаков для обоих чисел.

Поскольку показатель степени $a = \frac{5}{7}$ является положительным числом ($a > 0$), степенная функция $y = x^{\frac{5}{7}}$ является возрастающей на промежутке $[0; +\infty)$. Это означает, что для любых неотрицательных оснований $x_1$ и $x_2$, если $x_1 < x_2$, то $x_1^a < x_2^a$.

Сравним основания степеней: $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$.

Так как подкоренные выражения $2$ и $3$ удовлетворяют неравенству $2 < 3$, и функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей, то $\sqrt{2} < \sqrt{3}$.

Так как функция $y = x^{\frac{5}{7}}$ является возрастающей, то меньшему основанию ($\sqrt{2}$) будет соответствовать меньшее значение степени. Таким образом, получаем:

$(\sqrt{2})^{\frac{5}{7}} < (\sqrt{3})^{\frac{5}{7}}$.

Ответ: $(\sqrt{2})^{\frac{5}{7}} < (\sqrt{3})^{\frac{5}{7}}$.