Номер 1.105, страница 30 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.105. Воспользуйтесь свойствами степени с рациональным показателем и найдите значение выражения $16^{\frac{1}{2}} + 27^{-\frac{1}{3}} + 81^{\frac{3}{4}} + 8^{1\frac{2}{3}}$.

Для решения воспользуемся свойствами степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$, $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Вычислим значение каждого слагаемого в выражении $16^{\frac{1}{2}} + 27^{-\frac{1}{3}} + 81^{\frac{3}{4}} + 8^{1\frac{2}{3}}$ по отдельности.

1. Вычислим $16^{\frac{1}{2}}$. Представим основание 16 в виде степени $4^2$:

$16^{\frac{1}{2}} = (4^2)^{\frac{1}{2}} = 4^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 4^1 = 4$.

2. Вычислим $27^{-\frac{1}{3}}$. Представим основание 27 в виде степени $3^3$ и применим свойство для отрицательного показателя:

$27^{-\frac{1}{3}} = (3^3)^{-\frac{1}{3}} = 3^{3 \cdot (-\frac{1}{3})} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

3. Вычислим $81^{\frac{3}{4}}$. Представим основание 81 в виде степени $3^4$:

$81^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3 = 27$.

4. Вычислим $8^{1\frac{2}{3}}$. Сначала преобразуем смешанный показатель степени $1\frac{2}{3}$ в неправильную дробь: $1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$. Затем представим основание 8 в виде степени $2^3$:

$8^{1\frac{2}{3}} = 8^{\frac{5}{3}} = (2^3)^{\frac{5}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{5}{3}} = 2^5 = 32$.

5. Сложим полученные значения:

$4 + \frac{1}{3} + 27 + 32 = (4 + 27 + 32) + \frac{1}{3} = 63 + \frac{1}{3} = 63\frac{1}{3}$.

Ответ: $63\frac{1}{3}$.