Номер 1.109, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.109. На рисунке 7 изображен график функции $f(x) = ax^2 + bx + c (a \neq 0)$. Выберите неверное утверждение:

а) $f(x_1) = 0$;

б) $f(3) < f(0)$;

в) $f(10) < 0$;

г) $f(0) = 0$;

д) $f(x_В) \ge f(x_0)$, где $x_0 \in \mathbb{R}$.

Рис. 7

Для того чтобы выбрать неверное утверждение, проанализируем каждое из них, исходя из свойств функции $f(x) = ax^2 + bx + c$, график которой изображен на рисунке.

Свойства функции, которые можно определить по графику:

• Ветви параболы направлены вниз, следовательно, старший коэффициент $a < 0$.
• Абсцисса вершины параболы $x_в$ отрицательна: $x_в < 0$.
• Парабола пересекает ось ординат (ось $Oy$) в точке выше начала координат, значит, $f(0) > 0$. Напомним, что $f(0) = c$, поэтому $c > 0$.
• Функция имеет два корня (точки пересечения с осью $Ox$): $x_1 < 0$ и $x_2 > 0$.

а) $f(x_1) = 0$
Точка $x_1$ на графике — это точка пересечения параболы с осью абсцисс (осью $Ox$). Такие точки являются корнями (или нулями) функции. По определению, значение функции в её корнях равно нулю. Следовательно, утверждение $f(x_1) = 0$ является верным.

б) $f(3) < f(0)$
Из графика видно, что абсцисса вершины параболы $x_в < 0$. Так как ветви параболы направлены вниз ($a<0$), функция является убывающей на всём промежутке $(x_в, +\infty)$. Поскольку $3 > 0$ и $0 > x_в$, обе точки, $x=0$ и $x=3$, лежат на промежутке убывания. Для убывающей функции, чем больше значение аргумента, тем меньше значение функции. Так как $3 > 0$, то $f(3) < f(0)$. Следовательно, утверждение является верным.

в) $f(10) < 0$
Парабола пересекает ось $Ox$ в двух точках: отрицательной $x_1$ и положительной $x_2$. Для всех значений $x$, которые больше правого корня $x_2$, график функции находится под осью $Ox$, а значит, значения функции $f(x)$ отрицательны. Так как $10$ очевидно больше, чем положительный корень $x_2$ (который, судя по графику, является небольшим числом), то значение $f(10)$ будет отрицательным. Следовательно, утверждение является верным.

г) $f(0) = 0$
Значение $f(0)$ — это ордината точки пересечения графика с осью $Oy$. На рисунке мы видим, что парабола пересекает ось $Oy$ в точке, расположенной выше начала координат (точки О). Это означает, что $f(0) > 0$. Утверждение $f(0) = 0$ означало бы, что график проходит через начало координат, что не соответствует действительности. Следовательно, данное утверждение является неверным.

д) $f(x_в) \geq f(x_0)$, где $x_0 \in \mathbb{R}$
Точка $x_в$ — это абсцисса вершины параболы. Поскольку ветви параболы направлены вниз, вершина является точкой глобального максимума функции. Это означает, что значение функции в вершине, $f(x_в)$, является наибольшим из всех возможных значений функции. Поэтому для любого действительного числа $x_0$ выполняется неравенство $f(x_в) \geq f(x_0)$. Следовательно, утверждение является верным.

В результате анализа всех утверждений было установлено, что единственным неверным является утверждение г).

Ответ: г)