Номер 1.112, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.112. Решите тригонометрическое уравнение:

a) $\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $2\sin^2 x + 5\cos x + 1 = 0$;

в) $\cos 7x \cos 3x + \sin 7x \sin 3x = -1.$

Найдите наибольший отрицательный корень каждого уравнения.

а) $\cos(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $\cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = x + \frac{\pi}{6}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем:

$x + \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим два случая:

1) $x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $x + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$x = -\frac{2\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Теперь найдем наибольший отрицательный корень. Для этого переберем целые значения $n$.

Для первой серии корней $x = 2\pi n$:

При $n = 0, x = 0$.

При $n = -1, x = -2\pi$.

Для второй серии корней $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$:

При $n = 0, x = -\frac{\pi}{3}$.

При $n = -1, x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}$.

Сравним полученные отрицательные корни: $-2\pi$ и $-\frac{\pi}{3}$.

Так как $-\frac{\pi}{3} > -2\pi$, наибольший отрицательный корень равен $-\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $x = 2\pi n$; $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Наибольший отрицательный корень: $-\frac{\pi}{3}$.

б) $2\sin^2x + 5\cos x + 1 = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, откуда $\sin^2x = 1 - \cos^2x$.

Подставим в уравнение:

$2(1 - \cos^2x) + 5\cos x + 1 = 0$

$2 - 2\cos^2x + 5\cos x + 1 = 0$

$-2\cos^2x + 5\cos x + 3 = 0$

Умножим обе части на -1:

$2\cos^2x - 5\cos x - 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$, причем $|t| \le 1$.

$2t^2 - 5t - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Вернемся к замене:

1) $\cos x = 3$. Этот корень не подходит, так как область значений косинуса $[-1, 1]$.

2) $\cos x = -\frac{1}{2}$

$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Найдем наибольший отрицательный корень.

Рассмотрим серию $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$:

При $n = 0, x = \frac{2\pi}{3}$ (положительный).

При $n = -1, x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}$.

Рассмотрим серию $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$:

При $n = 0, x = -\frac{2\pi}{3}$.

При $n = -1, x = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{8\pi}{3}$.

Сравним отрицательные корни: $-\frac{4\pi}{3}$ и $-\frac{2\pi}{3}$.

Так как $-\frac{2\pi}{3} > -\frac{4\pi}{3}$, наибольший отрицательный корень равен $-\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Наибольший отрицательный корень: $-\frac{2\pi}{3}$.

в) $\cos 7x \cos 3x + \sin 7x \sin 3x = -1$

Воспользуемся формулой косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

В нашем случае $\alpha = 7x$ и $\beta = 3x$.

Левая часть уравнения сворачивается в $\cos(7x - 3x)$.

$\cos(4x) = -1$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$4x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 4:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{4}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Найдем наибольший отрицательный корень. Подставим целые значения $n$:

При $n = 0, x = \frac{\pi}{4}$ (положительный).

При $n = -1, x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi (-1)}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$.

При $n = -2, x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi (-2)}{2} = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$.

Наибольшим из отрицательных корней является $-\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$. Наибольший отрицательный корень: $-\frac{\pi}{4}$.