Номер вопрос 2, страница 37 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Укажите, если возможно, значение $a$ такое, чтобы:

а) $\log_a 3 > 0$;

б) $\log_a 3 < 0$;

в) $\log_a 3 = 1$;

г) $\log_a 3 = 0$.

а) $\log_a 3 > 0$

Нам нужно найти значение $a$, при котором выполняется неравенство $\log_a 3 > 0$. По определению логарифма, основание $a$ должно удовлетворять условиям $a > 0$ и $a \neq 1$.

Знак логарифма зависит от того, находятся ли основание $a$ и аргумент (в данном случае 3) по одну или по разные стороны от единицы.

Аргумент логарифма равен 3, что больше 1. Чтобы логарифм был положительным, основание $a$ также должно быть больше 1. То есть, неравенство $\log_a 3 > 0$ выполняется при $a > 1$.

В качестве примера можно взять любое число, большее 1, например, $a=2$. Проверим: $\log_2 3$. Так как $2^1 = 2$, а $2^2 = 4$, то $1 < \log_2 3 < 2$, следовательно $\log_2 3 > 0$.

Ответ: например, $a = 2$.

б) $\log_a 3 < 0$

Нам нужно найти значение $a$, при котором выполняется неравенство $\log_a 3 < 0$. Ограничения на основание $a$ остаются прежними: $a > 0$ и $a \neq 1$.

Аргумент логарифма равен 3, что больше 1. Чтобы логарифм был отрицательным, основание $a$ должно находиться в интервале от 0 до 1. То есть, неравенство $\log_a 3 < 0$ выполняется при $0 < a < 1$.

В качестве примера можно взять любое число из этого интервала, например, $a = 1/3$. Проверим: $\log_{1/3} 3 = -1$, так как $(1/3)^{-1} = 3$. Значение -1 меньше 0, что удовлетворяет условию.

Ответ: например, $a = 1/3$.

в) $\log_a 3 = 1$

Нам нужно найти значение $a$, при котором выполняется равенство $\log_a 3 = 1$.

По определению логарифма, равенство $\log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$. Применяя это к нашему случаю, получаем: $a^1 = 3$.

Отсюда следует, что $a = 3$. Это значение удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$.

Ответ: $a = 3$.

г) $\log_a 3 = 0$

Нам нужно найти значение $a$, при котором выполняется равенство $\log_a 3 = 0$.

Используем определение логарифма: $\log_a 3 = 0$ эквивалентно $a^0 = 3$.

Однако, любое положительное число $a$, не равное 1, в нулевой степени равно 1, то есть $a^0 = 1$. Таким образом, мы приходим к неверному равенству $1 = 3$.

Это означает, что не существует такого значения $a$, при котором $\log_a 3$ было бы равно 0.

Ответ: такого значения $a$ не существует.