Номер 1.113, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.113. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции $f(x) = x^3 - 12x$.

Для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума функции $f(x) = x^3 - 12x$, необходимо исследовать знак ее первой производной.

1. Найдем производную функции. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (x^3 - 12x)' = 3x^2 - 12$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 12 = 0$

$3(x^2 - 4) = 0$

$x^2 = 4$

Критические точки: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

3. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них.

• При $x \in (-\infty; -2)$, например $x=-3$, $f'(-3) = 3(-3)^2 - 12 = 15 > 0$, значит, функция возрастает.
• При $x \in (-2; 2)$, например $x=0$, $f'(0) = 3(0)^2 - 12 = -12 < 0$, значит, функция убывает.
• При $x \in (2; +\infty)$, например $x=3$, $f'(3) = 3(3)^2 - 12 = 15 > 0$, значит, функция возрастает.

Промежутки монотонности

На основе анализа знака производной, и с учетом непрерывности функции, делаем вывод о промежутках монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$; функция убывает на промежутке $[-2; 2]$.

Точки экстремума

Точки экстремума возникают там, где производная меняет знак.

• В точке $x = -2$ знак производной меняется с «+» на «–», следовательно, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $y_{max} = f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) = -8 + 24 = 16$.
• В точке $x = 2$ знак производной меняется с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $y_{min} = f(2) = (2)^3 - 12(2) = 8 - 24 = -16$.

Ответ: точка максимума $x_{max} = -2$, значение в точке максимума $f(-2) = 16$; точка минимума $x_{min} = 2$, значение в точке минимума $f(2) = -16$.