Номер 1.110, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.110. Найдите наименьшее значение функции $y = -5\cos(4x - \frac{\pi}{3})$. Приведите пример функции вида $y = A\sin(kx + m) + n$, множеством значений которой является отрезок $[-6; 2]$.

Найдите наименьшее значение функции $y = -5\cos(4x-\frac{\pi}{3})$

Множество значений функции косинус $E(\cos \alpha)$ — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого аргумента, в том числе и для $4x - \frac{\pi}{3}$, справедливо двойное неравенство:

$-1 \le \cos(4x - \frac{\pi}{3}) \le 1$

Чтобы получить выражение для функции $y$, необходимо умножить все части этого неравенства на -5. Важно помнить, что при умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-5) \cdot 1 \le -5\cos(4x - \frac{\pi}{3}) \le (-5) \cdot (-1)$

Выполнив умножение, получаем:

$-5 \le y \le 5$

Таким образом, множество значений данной функции, $E(y)$, есть отрезок $[-5; 5]$. Наименьшее значение функции соответствует левой (нижней) границе этого отрезка.

Ответ: -5

Приведите пример функции вида $y = A\sin(kx + m) + n$, множеством значений которой является отрезок [-6; 2]

Множество значений функции $y = A\sin(kx + m) + n$ определяется амплитудой $A$ и вертикальным сдвигом $n$. Выражение $\sin(kx+m)$ принимает значения в диапазоне $[-1; 1]$.

Следовательно, выражение $A\sin(kx+m)$ принимает значения в диапазоне $[- |A|; |A|]$.

После прибавления сдвига $n$ итоговое множество значений функции $E(y)$ будет $[n - |A|; n + |A|]$.

Согласно условию задачи, множество значений функции — это отрезок $[-6; 2]$. Это позволяет нам составить систему уравнений, где $y_{min} = n - |A|$ и $y_{max} = n + |A|$:

$\begin{cases} n - |A| = -6 \\ n + |A| = 2 \end{cases}$

Для решения системы сложим оба уравнения:

$(n - |A|) + (n + |A|) = -6 + 2$

$2n = -4$

$n = -2$

Теперь подставим найденное значение $n = -2$ в любое из уравнений системы, например, во второе:

$-2 + |A| = 2$

$|A| = 4$

Мы можем выбрать $A=4$ или $A=-4$. Для примера возьмем положительное значение $A=4$.

Коэффициенты $k$ и $m$ влияют на период и фазовый сдвиг функции, но не на ее множество значений. Поэтому для составления примера мы можем выбрать наиболее простые значения, например, $k=1$ (при условии $k \ne 0$) и $m=0$.

Подставив найденные коэффициенты $A=4$ и $n=-2$, а также $k=1, m=0$, получаем искомую функцию.

Ответ: $y = 4\sin(x) - 2$