Номер 1.115, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.115. Найдите значение степени:

а) $2^{-3}$;

б) $25^{-\frac{1}{2}};

в) $81^{\frac{3}{4}};

г) $121^{0.5}$.

а) Чтобы найти значение степени $2^{-3}$, используется определение степени с отрицательным целым показателем. Согласно этому определению, для любого числа $a \neq 0$ и целого положительного числа $n$ справедливо равенство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Применяя данное правило к нашему выражению, получаем:

$2^{-3} = \frac{1}{2^3}$

Далее вычисляем значение $2^3$:

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Таким образом, окончательное значение выражения:

$2^{-3} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$.

б) Для вычисления выражения $25^{-\frac{1}{2}}$ необходимо применить два свойства степеней: степень с отрицательным показателем и степень с дробным показателем.

1. Сначала используем правило для отрицательного показателя $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$25^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{25^{\frac{1}{2}}}$

2. Теперь используем правило для дробного показателя $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$. В нашем случае показатель $\frac{1}{2}$ означает извлечение квадратного корня:

$25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$

Подставляем полученное значение обратно в выражение:

$25^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$.

в) Чтобы найти значение $81^{\frac{3}{4}}$, воспользуемся определением степени с рациональным показателем $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$. Для удобства вычислений сначала извлекают корень, а затем возводят в степень.

$81^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{81})^3$

Находим корень четвертой степени из 81. Это число 3, так как $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

$\sqrt[4]{81} = 3$

Теперь возводим полученный результат в третью степень:

$3^3 = 27$

Существует и другой способ: можно представить основание 81 в виде степени $3^4$ и воспользоваться свойством $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$81^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3 = 27$

Ответ: $27$.

г) Для вычисления $121^{0,5}$ первым шагом представим десятичный показатель степени $0,5$ в виде обыкновенной дроби.

$0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Теперь наше выражение выглядит так: $121^{\frac{1}{2}}$.

Далее применяем свойство степени с дробным показателем $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$. Показатель $\frac{1}{2}$ соответствует извлечению квадратного корня.

$121^{\frac{1}{2}} = \sqrt{121}$

Квадратный корень из 121 равен 11, так как $11^2 = 121$.

Следовательно, $121^{0,5} = 11$.

Ответ: $11$.