Номер 1.116, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.116. Найдите область определения выражения:

а) $(x-1)^3$;

б) $(x-1)^{-3}$;

в) $(x-1)^{\frac{1}{3}}$;

г) $(x-1)^{-\frac{1}{3}}$.

а) $(x - 1)^3$

Данное выражение является многочленом, так как переменная $x$ возводится в натуральную степень 3. Многочлены определены для любых действительных значений переменной. Никаких ограничений, таких как деление на ноль или извлечение корня четной степени из отрицательного числа, здесь нет.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $(x - 1)^{-3}$

Отрицательная степень означает, что выражение можно представить в виде дроби:
$(x - 1)^{-3} = \frac{1}{(x - 1)^3}$
Единственное ограничение для дроби — её знаменатель не может быть равен нулю. Поэтому необходимо решить условие:
$(x - 1)^3 \neq 0$
Извлекая кубический корень из обеих частей неравенства, получаем:
$x - 1 \neq 0$
Отсюда следует, что $x \neq 1$.
Таким образом, область определения — все действительные числа, кроме 1.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

в) $(x - 1)^{\frac{1}{3}}$

Дробная степень $\frac{1}{3}$ эквивалентна извлечению кубического корня:
$(x - 1)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x - 1}$
Поскольку корень имеет нечетный показатель (3), подкоренное выражение $x - 1$ может быть любым действительным числом (положительным, отрицательным или нулём). Следовательно, ограничений на значения $x$ нет.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) $(x - 1)^{-\frac{1}{3}}$

Это выражение сочетает в себе отрицательную и дробную степень. Его можно записать в следующем виде:
$(x - 1)^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{(x - 1)^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x - 1}}$
Здесь действуют два правила:
1. Подкоренное выражение для корня нечетной степени может быть любым.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
Объединяя эти условия, получаем, что знаменатель $\sqrt[3]{x - 1}$ должен существовать и не быть равным нулю.
$\sqrt[3]{x - 1} \neq 0$
Возводим обе части в третью степень:
$x - 1 \neq 0$
$x \neq 1$
Область определения — все действительные числа, за исключением 1.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.