Номер 1.114, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.114. Решите уравнение:

а) $x^3 = 27$;

б) $x^4 = 16$;

в) $x^3 = 25$;

г) $x^6 = 2$.

а) $x^3 = 27$

Чтобы решить это уравнение, необходимо найти число, которое при возведении в третью степень даст 27. Для этого извлечем кубический корень из обеих частей уравнения.

$x = \sqrt[3]{27}$

Поскольку $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$, то кубический корень из 27 равен 3. Уравнения вида $x^{2n+1} = a$ всегда имеют один действительный корень.

$x = 3$

Ответ: $3$

б) $x^4 = 16$

В данном уравнении переменная $x$ находится в четной степени ($4$). Если правая часть уравнения положительна, то уравнение имеет два действительных корня.

Извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt[4]{16}$

Мы знаем, что $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$. Также $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$.

Следовательно, уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $\pm2$

в) $x^3 = 25$

Это уравнение с нечетной степенью ($3$), поэтому оно имеет один действительный корень. Извлечем кубический корень из обеих частей:

$x = \sqrt[3]{25}$

Поскольку не существует целого числа, куб которого равен 25 (так как $2^3=8$, а $3^3=27$), корень является иррациональным числом. Ответ следует оставить в виде радикала.

Ответ: $\sqrt[3]{25}$

г) $x^6 = 2$

Степень уравнения ($6$) является четным числом, а правая часть ($2$) — положительным. Значит, уравнение имеет два действительных корня. Извлечем корень шестой степени из обеих частей:

$x = \pm\sqrt[6]{2}$

Так как не существует рационального числа, шестая степень которого равна 2, корни являются иррациональными. Ответ следует оставить в виде радикала.

Ответ: $\pm\sqrt[6]{2}$