Номер 1.107, страница 30 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.107. Для экскурсионных поездок учащихся было выделено несколько автобусов с одинаковым числом мест в каждом. 328 детей поехали в Дудутки, 369 детей — в Мирский замок. Все места в автобусах были заняты, ни одного человека не осталось без места. Найдите число мест в каждом автобусе и число автобусов, отправившихся в Мирский замок.

По условию задачи, для каждой поездки было выделено несколько автобусов с одинаковым числом мест в каждом, и все места были заняты. Это означает, что количество мест в одном автобусе должно быть общим делителем числа детей, поехавших в Дудутки (328), и числа детей, поехавших в Мирский замок (369). Так как автобусы должны вмещать как можно больше людей, чтобы их количество было минимальным, мы ищем наибольший общий делитель (НОД) этих двух чисел.

Найдем число мест в каждом автобусе
Для нахождения наибольшего общего делителя чисел 328 и 369 воспользуемся алгоритмом Евклида.
1. Разделим большее число на меньшее с остатком:
$369 = 1 \cdot 328 + 41$
2. Теперь разделим делитель (328) на полученный остаток (41):
$328 = 8 \cdot 41 + 0$
Последний ненулевой остаток в этой цепочке делений и является наибольшим общим делителем. Таким образом, НОД(328, 369) = 41.
Поскольку число 41 простое, его делителями являются только 1 и 41. Вариант с 1 местом в автобусе не имеет смысла, значит, в каждом автобусе было по 41 месту.
Ответ: 41 место.

Найдем число автобусов, отправившихся в Мирский замок
Зная, что в Мирский замок поехало 369 детей и в каждом автобусе было по 41 месту, мы можем вычислить количество автобусов. Для этого разделим общее число детей на количество мест в одном автобусе:
$369 \div 41 = 9$
Следовательно, в Мирский замок отправилось 9 автобусов.
Ответ: 9 автобусов.