Номер 1.106, страница 30 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.106. Задайте формулой:

а) линейную функцию, график которой параллелен графику функции $y = -x + 8$ и пересекается с графиком функции $y = 5x - 6$ в точке, лежащей на оси ординат;

б) нечетную линейную функцию, график которой проходит через точку $A(-3; 9)$.

Приведите пример четной линейной функции.

а) Общий вид линейной функции: $y = kx + b$. По условию, график искомой функции параллелен графику функции $y = -x + 8$. Графики линейных функций параллельны, если их угловые коэффициенты ($k$) равны. Угловой коэффициент для функции $y = -x + 8$ равен $-1$, следовательно, для искомой функции $k = -1$. Формула принимает вид $y = -x + b$. Далее, график искомой функции пересекается с графиком функции $y = 5x - 6$ на оси ординат. Точка на оси ординат имеет абсциссу $x=0$. Найдем ординату точки пересечения для функции $y = 5x - 6$, подставив $x=0$: $y = 5 \cdot 0 - 6 = -6$. Значит, точка пересечения — $(0; -6)$. Эта точка принадлежит и искомой функции $y = -x + b$. Подставим ее координаты в уравнение: $-6 = -(0) + b$, откуда $b = -6$. Таким образом, искомая функция задается формулой $y = -x - 6$.
Ответ: $y = -x - 6$

б) Линейная функция $f(x) = kx + b$ является нечетной, если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Для линейной функции это означает $k(-x)+b = -(kx+b)$, что упрощается до $-kx+b = -kx-b$, и далее до $2b=0$, откуда $b=0$. Таким образом, любая нечетная линейная функция — это прямая пропорциональность вида $y=kx$. По условию, график проходит через точку A$(-3; 9)$. Подставим эти координаты в формулу, чтобы найти коэффициент $k$: $9 = k \cdot (-3)$. Отсюда $k = \frac{9}{-3} = -3$. Искомая функция задается формулой $y = -3x$.
Ответ: $y = -3x$

Приведите пример четной линейной функции.
Линейная функция $f(x) = kx + b$ является четной, если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Для линейной функции это означает $k(-x)+b = kx+b$, что упрощается до $-kx+b = kx+b$, и далее до $2kx=0$. Это равенство должно выполняться для всех $x$, что возможно только при $k=0$. Значит, любая четная линейная функция — это постоянная функция вида $y=b$, где $b$ - константа.
Ответ: $y=7$