Номер 1.103, страница 30 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.103. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

a) $h(x) = x^{1/4}$ на промежутке $[1; 16];$

б) $f(x) = x^{-2/3}$ на промежутке $[\frac{1}{8}; 125].$

а) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $h(x) = x^{\frac{1}{4}}$ на промежутке $[1; 16]$, необходимо исследовать поведение функции на этом отрезке. Для этого найдем производную функции.
Производная функции $h(x)$ по правилу дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ равна:
$h'(x) = (x^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.
Определим знак производной на промежутке $[1; 16]$. Так как для любого $x$ из данного промежутка выполняется неравенство $x > 0$, то и знаменатель дроби $4\sqrt[4]{x^3}$ будет строго положителен. Следовательно, производная $h'(x) > 0$ на всем промежутке $[1; 16]$.
Поскольку производная функции положительна, функция $h(x)$ является монотонно возрастающей на данном отрезке. Это означает, что свое наименьшее значение она принимает в левой границе промежутка, а наибольшее — в правой.
Вычислим значения функции на концах промежутка:
Наименьшее значение: $h(1) = 1^{\frac{1}{4}} = 1$.
Наибольшее значение: $h(16) = 16^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} = 2$.
Ответ: наименьшее значение функции равно 1, наибольшее значение функции равно 2.

б) Для функции $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$ на промежутке $[\frac{1}{8}; 125]$ применим тот же алгоритм.
Сначала найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^{-\frac{2}{3}})' = -\frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}-1} = -\frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{3\sqrt[3]{x^5}}$.
Определим знак производной на промежутке $[\frac{1}{8}; 125]$. Для любого $x$ из этого промежутка $x > 0$, значит, выражение в знаменателе $3\sqrt[3]{x^5}$ положительно. Числитель дроби равен $-2$, то есть отрицателен. Таким образом, производная $f'(x)$ отрицательна на всем заданном промежутке.
Так как производная функции отрицательна, функция $f(x)$ является монотонно убывающей на отрезке $[\frac{1}{8}; 125]$. Для убывающей функции наибольшее значение достигается в левой границе промежутка, а наименьшее — в правой.
Вычислим значения функции на концах промежутка:
Наибольшее значение: $f(\frac{1}{8}) = (\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}} = (8^{-1})^{-\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.
Наименьшее значение: $f(125) = 125^{-\frac{2}{3}} = (5^3)^{-\frac{2}{3}} = 5^{3 \cdot (-\frac{2}{3})} = 5^{-2} = \frac{1}{25}$.
Ответ: наименьшее значение функции равно $\frac{1}{25}$, наибольшее значение функции равно 4.