Номер 1.102, страница 30 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.102. Изобразите схематически график функции:

а) $f(x) = x^{\frac{2}{3}};

б) $g(x) = x^{-\frac{1}{2}};

в) $h(x) = x^{\frac{2}{9}};

Г) $p(x) = x^{2,5}.$

а) Рассматриваем функцию $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$.

1. Область определения. Функцию можно представить в виде $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, а кубический корень определен для любого действительного числа, область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Область значений. Поскольку $x^2 \ge 0$ для всех $x$, то и $f(x) = \sqrt[3]{x^2} \ge 0$. Область значений: $E(f) = [0, +\infty)$.

3. Четность. Проверим $f(-x)$: $f(-x) = ((-x)^2)^{\frac{1}{3}} = (x^2)^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}} = f(x)$. Функция является четной, следовательно, ее график симметричен относительно оси Oy.

4. Поведение и ключевые точки. Ключевые точки: $f(0) = 0$, $f(1) = 1$, $f(-1) = 1$. График проходит через точки (0, 0), (1, 1) и (-1, 1). Первая производная: $f'(x) = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$. При $x > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает. При $x < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает. В точке $x=0$ производная не определена, что указывает на наличие "острия" (каспа) в начале координат. Касательная в этой точке вертикальна.

5. Выпуклость. Вторая производная: $f''(x) = -\frac{2}{9}x^{-\frac{4}{3}} = -\frac{2}{9\sqrt[3]{x^4}}$. Поскольку $\sqrt[3]{x^4} > 0$ для всех $x \neq 0$, то $f''(x) < 0$. Это означает, что график функции выпуклый вверх (вогнутый) на всей области определения.

Схематический график: График расположен в верхней полуплоскости, симметричен относительно оси Y. Он убывает из $(-\infty, +\infty)$ до точки (0, 0), где имеет острие (касп), а затем возрастает в $(+\infty, +\infty)$. График напоминает крылья чайки, сходящиеся в точке (0, 0).

Ответ: Схематический график функции $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$ представляет собой кривую, симметричную относительно оси Oy, расположенную в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Кривая убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$. В точке (0, 0) график имеет точку возврата (касп) с вертикальной касательной. График проходит через точки (-1, 1), (0, 0) и (1, 1).

б) Рассматриваем функцию $g(x) = x^{-\frac{1}{2}}$.

1. Область определения. Функцию можно записать как $g(x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), а знаменатель не должен быть равен нулю ($x \neq 0$). Следовательно, область определения: $D(g) = (0, +\infty)$.

2. Область значений. Так как $\sqrt{x} > 0$ для всех $x > 0$, то и $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} > 0$. Область значений: $E(g) = (0, +\infty)$.

3. Поведение и асимптоты. Ключевые точки: $g(1) = 1^{-\frac{1}{2}} = 1$, $g(4) = 4^{-\frac{1}{2}} = 1/2$. Первая производная: $g'(x) = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}}$. При $x > 0$, $g'(x) < 0$, следовательно, функция монотонно убывает на всей области определения. При $x \to 0^+$, $g(x) \to +\infty$, поэтому ось Oy ($x=0$) является вертикальной асимптотой. При $x \to +\infty$, $g(x) \to 0$, поэтому ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой.

4. Выпуклость. Вторая производная: $g''(x) = \frac{3}{4}x^{-\frac{5}{2}} = \frac{3}{4\sqrt{x^5}}$. При $x > 0$, $g''(x) > 0$. Это означает, что график функции выпуклый вниз (вогнутый) на всей области определения.

Схематический график: График расположен полностью в первом квадранте. Это убывающая, выпуклая вниз кривая. Она начинается "сверху" у оси Y, проходит через точку (1, 1) и приближается к оси X по мере увеличения $x$.

Ответ: Схематический график функции $g(x) = x^{-\frac{1}{2}}$ — это ветвь, расположенная в первом координатном квадранте. Она монотонно убывает и выпукла вниз. Ось Oy является вертикальной асимптотой (график приближается к ней при $x \to 0^+$), а ось Ox — горизонтальной асимптотой (график приближается к ней при $x \to +\infty$). График проходит через точку (1, 1).

в) Рассматриваем функцию $h(x) = x^{\frac{2}{9}}$.

1. Область определения. Функцию можно представить как $h(x) = \sqrt[9]{x^2}$. Как и в случае а), область определения — все действительные числа: $D(h) = (-\infty, +\infty)$.

2. Область значений. Так как $x^2 \ge 0$, то $h(x) = \sqrt[9]{x^2} \ge 0$. Область значений: $E(h) = [0, +\infty)$.

3. Четность. $h(-x) = ((-x)^2)^{\frac{1}{9}} = (x^2)^{\frac{1}{9}} = h(x)$. Функция четная, ее график симметричен относительно оси Oy.

4. Поведение и ключевые точки. Ключевые точки: $h(0) = 0$, $h(1) = 1$, $h(-1) = 1$. Первая производная: $h'(x) = \frac{2}{9}x^{-\frac{7}{9}} = \frac{2}{9\sqrt[9]{x^7}}$. При $x > 0$, $h'(x) > 0$, функция возрастает. При $x < 0$, $x^7 < 0$, поэтому $\sqrt[9]{x^7} < 0$, и $h'(x) < 0$. Функция убывает. В точке $x=0$ производная не определена, что, как и в пункте а), указывает на наличие каспа с вертикальной касательной.

5. Выпуклость. Вторая производная: $h''(x) = -\frac{14}{81}x^{-\frac{16}{9}} = -\frac{14}{81\sqrt[9]{x^{16}}}$. Поскольку $x^{16} \ge 0$, то $\sqrt[9]{x^{16}} \ge 0$. Значит, $h''(x) < 0$ для всех $x \neq 0$. График функции выпуклый вверх (вогнутый).

Схематический график: График очень похож на график функции из пункта а) ($f(x) = x^{\frac{2}{3}}$). Он также симметричен относительно оси Y, расположен в верхней полуплоскости, имеет касп в начале координат. Основное отличие в "ширине" кривой. Поскольку показатель степени $2/9$ меньше, чем $2/3$, то при $|x| > 1$ график $h(x)$ будет лежать ниже графика $f(x)$, а при $0 < |x| < 1$ — выше.

Ответ: Схематический график функции $h(x) = x^{\frac{2}{9}}$ — это кривая, симметричная относительно оси Oy и расположенная в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Кривая убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$. В точке (0, 0) график имеет точку возврата (касп) с вертикальной касательной. График проходит через точки (-1, 1), (0, 0) и (1, 1). По форме он похож на график $y=x^{2/3}$, но более "прижат" к оси Ox при $|x|>1$.

г) Рассматриваем функцию $p(x) = x^{2,5}$.

1. Область определения. Функцию можно записать как $p(x) = x^{\frac{5}{2}} = \sqrt{x^5}$. Для существования корня четной степени необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $x^5 \ge 0$, что равносильно $x \ge 0$. Область определения: $D(p) = [0, +\infty)$.

2. Область значений. Если $x \ge 0$, то $x^5 \ge 0$ и $\sqrt{x^5} \ge 0$. Таким образом, $p(x) \ge 0$. Область значений: $E(p) = [0, +\infty)$.

3. Поведение и ключевые точки. Ключевые точки: $p(0) = 0^{2.5} = 0$, $p(1) = 1^{2.5} = 1$. Первая производная: $p'(x) = 2.5x^{1.5} = 2.5x\sqrt{x}$. При $x > 0$, $p'(x) > 0$, следовательно, функция монотонно возрастает. При $x = 0$, $p'(0) = 0$. Это значит, что касательная к графику в начале координат — горизонтальная (ось Ox).

4. Выпуклость. Вторая производная: $p''(x) = 2.5 \cdot 1.5x^{0.5} = 3.75\sqrt{x}$. При $x > 0$, $p''(x) > 0$. График функции выпуклый вниз (вогнутый) на всей области определения.

Схематический график: График расположен в первом квадранте. Он начинается из точки (0, 0), касаясь оси Ox, и монотонно возрастает. Кривая выпукла вниз. Она проходит через точку (1, 1). Поскольку показатель $2.5 > 2$, при $x > 1$ график растет быстрее, чем парабола $y=x^2$, а при $0 < x < 1$ лежит ниже нее.

Ответ: Схематический график функции $p(x) = x^{2,5}$ — это возрастающая, выпуклая вниз кривая, расположенная в первом координатном квадранте. Она начинается в точке (0, 0), где имеет горизонтальную касательную (ось Ox), и проходит через точку (1, 1).