Номер 1.95, страница 29 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.95. Найдите наибольшее и наименьшее значения функций $f(x) = x^{\frac{5}{3}}$ и $g(x) = x^{-\frac{5}{3}}$ на промежутке $[0,125; 64]$.

Для функции $f(x) = x^{\frac{5}{3}}$

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[0.125; 64]$, исследуем её на монотонность. Для этого найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (x^{\frac{5}{3}})' = \frac{5}{3}x^{\frac{5}{3}-1} = \frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}}$

На заданном промежутке $x > 0$. Выражение $x^{\frac{2}{3}}$ можно записать как $(\sqrt[3]{x})^2$, которое всегда неотрицательно. Так как на интервале $(0.125; 64)$ $x \neq 0$, то $x^{\frac{2}{3}} > 0$. Следовательно, производная $f'(x)$ положительна на всем интервале $(0.125; 64)$.

Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на отрезке $[0.125; 64]$.

Для возрастающей функции наименьшее значение достигается в левой граничной точке отрезка ($x = 0.125$), а наибольшее — в правой ($x = 64$).

Вычисляем наименьшее значение:
$f_{наим} = f(0.125) = (0.125)^{\frac{5}{3}} = (\frac{1}{8})^{\frac{5}{3}} = ((\frac{1}{2})^3)^{\frac{5}{3}} = (\frac{1}{2})^{3 \cdot \frac{5}{3}} = (\frac{1}{2})^{5} = \frac{1}{32}$

Вычисляем наибольшее значение:
$f_{наиб} = f(64) = 64^{\frac{5}{3}} = (\sqrt[3]{64})^5 = 4^5 = 1024$

Ответ: наименьшее значение функции равно $\frac{1}{32}$, наибольшее значение равно $1024$.

Для функции $g(x) = x^{-\frac{5}{3}}$

Аналогично исследуем на монотонность функцию $g(x)$ на отрезке $[0.125; 64]$. Найдем её производную.

$g'(x) = (x^{-\frac{5}{3}})' = -\frac{5}{3}x^{-\frac{5}{3}-1} = -\frac{5}{3}x^{-\frac{8}{3}} = -\frac{5}{3\sqrt[3]{x^8}}$

На заданном промежутке $x > 0$, поэтому знаменатель $3\sqrt[3]{x^8}$ всегда положителен. Следовательно, производная $g'(x)$ отрицательна на всем интервале $(0.125; 64)$.

Это означает, что функция $g(x)$ является строго убывающей на отрезке $[0.125; 64]$.

Для убывающей функции наибольшее значение достигается в левой граничной точке отрезка ($x = 0.125$), а наименьшее — в правой ($x = 64$).

Вычисляем наибольшее значение:
$g_{наиб} = g(0.125) = (0.125)^{-\frac{5}{3}} = (\frac{1}{8})^{-\frac{5}{3}} = ((\frac{1}{2})^3)^{-\frac{5}{3}} = (\frac{1}{2})^{-5} = 2^5 = 32$

Вычисляем наименьшее значение:
$g_{наим} = g(64) = 64^{-\frac{5}{3}} = (\sqrt[3]{64})^{-5} = 4^{-5} = \frac{1}{4^5} = \frac{1}{1024}$

Ответ: наименьшее значение функции равно $\frac{1}{1024}$, наибольшее значение равно $32$.