Номер 1.94, страница 29 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.94. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

a) $h(x) = x^{\frac{1}{3}}$ на промежутке $[1; 27];$

б) $f(x) = x^{-\frac{3}{4}}$ на промежутке $[\frac{1}{16}; 81].$

а)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $h(x) = x^{\frac{1}{3}}$ на отрезке $[1; 27]$, исследуем её на монотонность. Для этого найдем производную функции.

Производная функции $h(x)$ равна:$h'(x) = (x^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

На заданном отрезке $[1; 27]$ значение $x$ положительно, поэтому знаменатель $3\sqrt[3]{x^2}$ также всегда положителен. Следовательно, производная $h'(x) > 0$ на всем отрезке. Это означает, что функция $h(x)$ монотонно возрастает на отрезке $[1; 27]$.

Для возрастающей функции наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом. Вычислим значения функции в точках $x=1$ и $x=27$:

• Наименьшее значение: $h(1) = 1^{\frac{1}{3}} = 1$.
• Наибольшее значение: $h(27) = 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$.

Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 3.

б)

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^{-\frac{3}{4}}$ на отрезке $[\frac{1}{16}; 81]$. Для этого исследуем функцию на монотонность с помощью производной.

Производная функции $f(x)$ равна:$f'(x) = (x^{-\frac{3}{4}})' = -\frac{3}{4}x^{-\frac{3}{4}-1} = -\frac{3}{4}x^{-\frac{7}{4}} = -\frac{3}{4\sqrt[4]{x^7}}$

На отрезке $[\frac{1}{16}; 81]$ значение $x$ положительно, поэтому знаменатель $4\sqrt[4]{x^7}$ также положителен. Из-за знака "минус" перед дробью производная $f'(x) < 0$ на всем отрезке. Это означает, что функция $f(x)$ монотонно убывает на отрезке $[\frac{1}{16}; 81]$.

Для убывающей функции наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом. Вычислим значения функции в точках $x=\frac{1}{16}$ и $x=81$:

• Наибольшее значение: $f(\frac{1}{16}) = (\frac{1}{16})^{-\frac{3}{4}} = (16^{-1})^{-\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^3 = 8$.
• Наименьшее значение: $f(81) = 81^{-\frac{3}{4}} = (3^4)^{-\frac{3}{4}} = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{27}$, наибольшее значение 8.