Номер 1.88, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.88. Определите, какие из данных степенных функций являются возрастающими:

а) $f(x) = x^7$;

б) $g(x) = x^{-9}$;

в) $h(x) = x^{0.8}$;

г) $p(x) = x^{\sqrt{5}}$.

Для определения, является ли степенная функция $y=x^a$ возрастающей, необходимо проанализировать ее показатель степени $a$ и область определения. Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Если функция возрастает на всей своей области определения, ее называют возрастающей.

Это степенная функция с показателем $a=7$. Так как показатель является целым числом, область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Для определения монотонности функции найдем ее производную: $f'(x) = (x^7)' = 7x^6$.

Поскольку $x^6 \ge 0$ для любого действительного $x$, то производная $f'(x) = 7x^6 \ge 0$ для всех $x \in D(f)$. Производная обращается в ноль только в одной точке $x=0$. Это означает, что функция является строго возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: функция является возрастающей.

Это степенная функция с показателем $a=-9$. Показатель — целое отрицательное число. Функцию можно записать в виде $g(x) = \frac{1}{x^9}$.

Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(g) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Найдем производную: $g'(x) = (x^{-9})' = -9x^{-10} = -\frac{9}{x^{10}}$.

Для любого $x$ из области определения $x^{10} > 0$. Следовательно, производная $g'(x)$ всегда отрицательна ($g'(x) < 0$).

Функция, имеющая отрицательную производную, является убывающей на каждом промежутке своей области определения. Таким образом, $g(x)$ убывает на $(-\infty, 0)$ и на $(0, +\infty)$.

Ответ: функция не является возрастающей.

Это степенная функция с показателем $a=0,8$. Показатель является положительным, но нецелым числом.

По определению степенной функции с нецелым показателем, ее область определения рассматривается для неотрицательных значений аргумента: $D(h) = [0, +\infty)$.

Для степенной функции $y = x^a$ на промежутке $[0, +\infty)$ действует правило: если $a > 0$, то функция возрастает. В данном случае $a = 0,8 > 0$.

Следовательно, функция $h(x) = x^{0,8}$ является возрастающей на своей области определения.

Проверим это с помощью производной для $x>0$: $h'(x) = (x^{0,8})' = 0,8x^{-0,2} = \frac{0,8}{x^{0,2}}$. Так как $x^{0,2} > 0$ для всех $x>0$, то $h'(x) > 0$, что подтверждает возрастание функции.

Ответ: функция является возрастающей.

Это степенная функция с показателем $a=\sqrt{5}$. Показатель является положительным иррациональным числом.

Область определения степенной функции с иррациональным показателем также рассматривается для неотрицательных значений аргумента: $D(p) = [0, +\infty)$.

Применяем то же правило, что и в предыдущем пункте: так как показатель $a = \sqrt{5} > 0$, функция является возрастающей на своей области определения.

Производная функции для $x>0$: $p'(x) = (x^{\sqrt{5}})' = \sqrt{5}x^{\sqrt{5}-1}$. Так как $\sqrt{5} > 0$ и $x^{\sqrt{5}-1} > 0$ для всех $x>0$, производная $p'(x)$ положительна, что подтверждает, что функция возрастает.

Ответ: функция является возрастающей.