Номер вопрос, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

Верно ли, что график любой степенной функции проходит через точку $A(1; 1)$?

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим определение степенной функции и проверим, удовлетворяет ли точка $A(1; 1)$ ее уравнению.

Степенная функция в общем виде записывается формулой $y = x^a$, где $a$ (показатель степени) — некоторое действительное число.

Чтобы проверить, проходит ли график функции через заданную точку, нужно подставить координаты этой точки в уравнение функции. Если получится верное равенство, то точка принадлежит графику.

Подставим координаты точки $A(1; 1)$, то есть $x = 1$ и $y = 1$, в уравнение степенной функции $y = x^a$:

$1 = 1^a$

Согласно основному свойству степени, единица в любой действительной степени равна единице. То есть, для любого действительного числа $a$, равенство $1^a = 1$ является верным.

Рассмотрим несколько примеров:

• Если $a=2$, функция $y = x^2$. При $x=1$, получаем $y=1^2=1$. Точка $(1;1)$ принадлежит графику.
• Если $a=\frac{1}{2}$, функция $y = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$. При $x=1$, получаем $y=\sqrt{1}=1$. Точка $(1;1)$ принадлежит графику.
• Если $a=-1$, функция $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$. При $x=1$, получаем $y=\frac{1}{1}=1$. Точка $(1;1)$ принадлежит графику.

Таким образом, мы получили тождество $1=1$, которое не зависит от показателя степени $a$. Это означает, что график любой степенной функции вида $y=x^a$ проходит через точку $A(1; 1)$.

Примечание: Иногда степенной функцией могут называть более общий вид $y = k \cdot x^a$, где $k$ - некоторый коэффициент. В этом случае утверждение было бы неверным, так как для прохождения через точку $(1; 1)$ должно было бы выполняться равенство $1 = k \cdot 1^a$, что означает $k=1$. Например, функция $y = 2x^2$ не проходит через точку $(1; 1)$. Однако в стандартном определении степенная функция — это именно $y=x^a$.

Ответ: Да, утверждение верно. График любой степенной функции вида $y=x^a$ проходит через точку $A(1; 1)$, так как при подстановке $x=1$ в уравнение функции, мы всегда получаем $y = 1^a = 1$.