Номер 1.77, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.77. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $\frac{6}{\sqrt[3]{2}}$;

б) $\frac{1}{\sqrt[4]{125}}$.

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{6}{\sqrt[3]{2}}$, домножим числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы подкоренное выражение в знаменателе стало полным кубом. Знаменатель равен $\sqrt[3]{2^1}$. Чтобы под корнем получить $2^3$, необходимо домножить его на $\sqrt[3]{2^2}$, то есть на $\sqrt[3]{4}$.

Выполним преобразование:
$\frac{6}{\sqrt[3]{2}} = \frac{6 \cdot \sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2^2}} = \frac{6\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2^3}} = \frac{6\sqrt[3]{4}}{2}$

Сокращаем полученную дробь:
$\frac{6\sqrt[3]{4}}{2} = 3\sqrt[3]{4}$

Ответ: $3\sqrt[3]{4}$

б) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{\sqrt[4]{125}}$, сначала представим число $125$ в виде степени: $125 = 5^3$. Таким образом, знаменатель дроби равен $\sqrt[4]{5^3}$.

Чтобы в знаменателе исчез корень четвертой степени, подкоренное выражение должно стать четвертой степенью. Для этого нужно домножить знаменатель $\sqrt[4]{5^3}$ на $\sqrt[4]{5^1}$ (или просто $\sqrt[4]{5}$). Домножим на этот множитель и числитель, и знаменатель дроби.

Выполним преобразование:
$\frac{1}{\sqrt[4]{125}} = \frac{1}{\sqrt[4]{5^3}} = \frac{1 \cdot \sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{5^3} \cdot \sqrt[4]{5}} = \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{5^3 \cdot 5}} = \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{5^4}} = \frac{\sqrt[4]{5}}{5}$

Ответ: $\frac{\sqrt[4]{5}}{5}$