Номер 1.73, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.73. Расположите в порядке убывания числа $ \sqrt{2} $; $ \sqrt[3]{3} $ и $ \sqrt[5]{5} $.

Чтобы расположить числа $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[5]{5}$ в порядке убывания, необходимо их сравнить. Для сравнения корней с разными показателями удобно привести их к одному общему показателю.

Общим показателем будет наименьшее общее кратное (НОК) показателей корней 2, 3 и 5.
НОК(2, 3, 5) = 30.

Теперь представим каждое число в виде корня с показателем 30. Для этого воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a} = \sqrt[nk]{a^k}$:

$\sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 15]{2^{15}} = \sqrt[30]{2^{15}}$
$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 10]{3^{10}} = \sqrt[30]{3^{10}}$
$\sqrt[5]{5} = \sqrt[5 \cdot 6]{5^6} = \sqrt[30]{5^6}$

Теперь сравнение исходных чисел сводится к сравнению подкоренных выражений: $2^{15}$, $3^{10}$ и $5^6$. Вычислим их значения:

$2^{15} = (2^5)^3 = 32^3 = 32768$
$3^{10} = (3^2)^5 = 9^5 = 59049$
$5^6 = (5^3)^2 = 125^2 = 15625$

Сравниваем полученные числа:
$59049 > 32768 > 15625$

Это означает, что:
$3^{10} > 2^{15} > 5^6$

Поскольку функция $y=\sqrt[30]{x}$ является возрастающей (для $x > 0$), большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня. Следовательно:
$\sqrt[30]{3^{10}} > \sqrt[30]{2^{15}} > \sqrt[30]{5^6}$
А значит:
$\sqrt[3]{3} > \sqrt{2} > \sqrt[5]{5}$

Таким образом, числа в порядке убывания (от большего к меньшему) располагаются так: $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt{2}$, $\sqrt[5]{5}$.

Ответ: $\sqrt[3]{3}; \sqrt{2}; \sqrt[5]{5}$.