Номер 1.69, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.69. Решите иррациональное уравнение:

a) $\sqrt{4-x^2} = x-2;$

б) $x^2 = 5+\sqrt{x^2-3}.$

a) Исходное уравнение: $\sqrt{4 - x^2} = x - 2$.
Данное уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 4 - x^2 = (x - 2)^2 \end{cases} $$ Первое неравенство $x-2 \ge 0$ определяет область допустимых значений для правой части уравнения, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Отсюда получаем $x \ge 2$.
Также подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $4 - x^2 \ge 0$, что равносильно $x^2 \le 4$, или $-2 \le x \le 2$.
Объединяя оба условия ($x \ge 2$ и $-2 \le x \le 2$), находим, что единственное возможное значение для $x$ — это $x=2$.
Теперь решим второе уравнение системы: $$4 - x^2 = x^2 - 4x + 4$$ $$2x^2 - 4x = 0$$ $$2x(x - 2) = 0$$ Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 2$.
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $0 \ge 2$, следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge 2$.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $x = 2$.

б) Исходное уравнение: $x^2 = 5 + \sqrt{x^2 - 3}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $$x^2 - 3 \ge 0$$ $$x^2 \ge 3$$ Это означает, что $x \in (-\infty, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$.
Для решения уравнения удобно сделать замену. Пусть $t = \sqrt{x^2 - 3}$. По определению арифметического корня, $t \ge 0$. Из замены следует, что $t^2 = x^2 - 3$, откуда $x^2 = t^2 + 3$.
Подставим замену в исходное уравнение: $$t^2 + 3 = 5 + t$$ Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$t^2 - t - 2 = 0$$ Решим это уравнение относительно $t$. По теореме Виета, корни уравнения: $$t_1 = 2, \quad t_2 = -1$$ Так как мы ввели условие $t \ge 0$, корень $t_2 = -1$ является посторонним. Остается только $t_1 = 2$.
Теперь выполним обратную замену: $$\sqrt{x^2 - 3} = 2$$ Возведем обе части в квадрат: $$x^2 - 3 = 4$$ $$x^2 = 7$$ Отсюда находим два корня: $x_1 = \sqrt{7}$ и $x_2 = -\sqrt{7}$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x^2 \ge 3$).
Для $x_1 = \sqrt{7}$, имеем $x^2 = 7$, что больше 3. Корень подходит.
Для $x_2 = -\sqrt{7}$, имеем $x^2 = 7$, что больше 3. Корень также подходит.
Ответ: $x = \pm\sqrt{7}$.