Номер 1.71, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.71. Для квадратичной функции $y = f(x)$ известно, что $f(-2) = f(4)$.

Найдите абсциссу вершины параболы.

Квадратичная функция задается уравнением вида $y = f(x) = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$. Графиком такой функции является парабола.

Ключевым свойством параболы является ее симметрия относительно вертикальной прямой, проходящей через ее вершину. Эта прямая называется осью симметрии, и ее уравнение имеет вид $x = x_в$, где $x_в$ — абсцисса (координата x) вершины параболы.

Свойство симметрии означает, что если две точки с абсциссами $x_1$ и $x_2$ симметричны относительно оси параболы, то значения функции в этих точках равны: $f(x_1) = f(x_2)$. Верно и обратное: если для двух различных точек $x_1$ и $x_2$ выполняется равенство $f(x_1) = f(x_2)$, то ось симметрии находится ровно посередине между этими точками.

В условии задачи дано, что $f(-2) = f(4)$. Это означает, что точки на параболе с абсциссами $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$ симметричны относительно оси параболы.

Абсцисса вершины параболы $x_в$ совпадает с положением оси симметрии. Чтобы найти ее, нужно вычислить среднее арифметическое абсцисс симметричных точек:

$x_в = \frac{x_1 + x_2}{2}$

Подставим данные значения $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$:

$x_в = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, абсцисса вершины параболы равна 1.

Проверка: Абсцисса вершины параболы $y = ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$. Из условия $f(-2) = f(4)$ следует: $a(-2)^2 + b(-2) + c = a(4)^2 + b(4) + c$ $4a - 2b + c = 16a + 4b + c$ $4a - 2b = 16a + 4b$ $-12a = 6b$ $b = -2a$ Подставим это соотношение в формулу для абсциссы вершины: $x_в = -\frac{-2a}{2a} = \frac{2a}{2a} = 1$

Ответ: 1