Номер 1.74, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.74. Найдите, при каком значении числа $k$ график обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку $A(-\sqrt{18}; \sqrt{2})$. Постройте этот график. Как называется график обратной пропорциональности? Верно ли, что точка $B(48; -0,125)$ принадлежит графику этой функции?

Нахождение коэффициента k

Функция обратной пропорциональности задана формулой $y = \frac{k}{x}$. По условию, график этой функции проходит через точку $A(-\sqrt{18}; \sqrt{2})$. Это означает, что координаты точки A удовлетворяют уравнению функции. Подставим значения $x = -\sqrt{18}$ и $y = \sqrt{2}$ в уравнение:

$\sqrt{2} = \frac{k}{-\sqrt{18}}$

Чтобы найти $k$, умножим обе части уравнения на $-\sqrt{18}$:

$k = -\sqrt{18} \cdot \sqrt{2} = -\sqrt{18 \cdot 2} = -\sqrt{36} = -6$

Таким образом, искомое значение коэффициента $k = -6$, а уравнение функции имеет вид $y = -\frac{6}{x}$.

Ответ: $k = -6$.

Построение и название графика

График обратной пропорциональности называется гипербола. Для функции $y = -\frac{6}{x}$ коэффициент $k = -6$ является отрицательным, поэтому ветви гиперболы расположены во второй (II) и четвертой (IV) координатных четвертях. Осями симметрии для графика являются оси координат Ox и Oy, к которым ветви гиперболы стремятся, но никогда их не пересекают (асимптоты).

Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих ему, и составим таблицу значений:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их двумя плавными кривыми, мы получим график функции $y = -\frac{6}{x}$ — гиперболу.

Ответ: График обратной пропорциональности называется гипербола. Для построения графика $y = -\frac{6}{x}$ необходимо отметить на координатной плоскости точки (например, из таблицы выше) и соединить их плавными кривыми, расположенными во II и IV четвертях и асимптотически приближающимися к осям координат.

Проверка принадлежности точки B графику функции

Чтобы проверить, принадлежит ли точка $B(48; -0,125)$ графику функции $y = -\frac{6}{x}$, нужно подставить ее координаты в уравнение функции и проверить, получится ли верное равенство.

Подставляем $x = 48$ и $y = -0,125$:

$-0,125 = -\frac{6}{48}$

Упростим дробь в правой части равенства:

$-\frac{6}{48} = -\frac{6 \div 6}{48 \div 6} = -\frac{1}{8}$

Теперь преобразуем полученную обыкновенную дробь в десятичную:

$-\frac{1}{8} = -0,125$

В результате мы получили верное равенство: $-0,125 = -0,125$.

Это означает, что точка B действительно принадлежит графику функции $y = -\frac{6}{x}$.

Ответ: Да, верно.