Номер 1.76, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.76. С помощью преобразований графика функции $y = \sin x$ постройте график функции $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 2$. Верно ли, что функция $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 2$:

a) не имеет нулей;

б) при значении аргумента, равном $\frac{\pi}{6}$, принимает значение, равное 1,5;

в) не пересекает ось ординат?

Для построения графика функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{3}) + 2$ с помощью преобразований графика функции $y = \sin x$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Сначала строим график базовой функции $y = \sin x$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$, проходящая через начало координат, с областью значений $[-1, 1]$.
2. Далее выполняем преобразование $y_1 = \sin(x - \frac{\pi}{3})$. Это соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика $y = \sin x$ вдоль оси абсцисс (Ox) на $\frac{\pi}{3}$ единиц вправо.
3. Затем выполняем преобразование $y = \sin(x - \frac{\pi}{3}) + 2$. Это соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика, полученного на предыдущем шаге, вдоль оси ординат (Oy) на 2 единицы вверх.

Теперь проверим истинность утверждений для функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{3}) + 2$:

а) не имеет нулей;

Нули функции — это значения $x$, при которых $y = 0$. Проверим, имеет ли уравнение $\sin(x - \frac{\pi}{3}) + 2 = 0$ решение.

$\sin(x - \frac{\pi}{3}) = -2$

Область значений функции синуса — это отрезок $[-1, 1]$. Поскольку число $-2$ не принадлежит этому отрезку, данное уравнение не имеет решений. Следовательно, функция не имеет нулей, и ее график не пересекает ось Ox.

Утверждение верно.

Ответ: верно.

б) при значении аргумента, равном $\frac{\pi}{6}$, принимает значение, равное 1,5;

Подставим $x = \frac{\pi}{6}$ в уравнение функции:

$y = \sin(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3}) + 2 = \sin(\frac{\pi - 2\pi}{6}) + 2 = \sin(-\frac{\pi}{6}) + 2$

Используя свойство нечетности синуса ($\sin(-a) = -\sin(a)$) и зная, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$y = -\sin(\frac{\pi}{6}) + 2 = -\frac{1}{2} + 2 = 1,5$

Утверждение верно.

Ответ: верно.

в) не пересекает ось ординат?

График функции пересекает ось ординат (ось Oy) в точке, где $x = 0$. Найдем значение функции при $x = 0$:

$y = \sin(0 - \frac{\pi}{3}) + 2 = \sin(-\frac{\pi}{3}) + 2$

Используя свойство нечетности синуса и зная, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$y = -\sin(\frac{\pi}{3}) + 2 = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Так как при $x=0$ функция имеет значение $y = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2}$, то ее график пересекает ось ординат в точке $(0; 2 - \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Следовательно, утверждение, что функция не пересекает ось ординат, неверно.

Ответ: неверно.